Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Temmuz 11, 2025, 08:57:55 ös
-
Petrovic Eşitsizliğinin kullanıldığı bir Crux Mathematicorum sorusu paylaşayım..
Crux 3934.
$a,b,c$ herhangi bir üçgenin kenar uzunluklarını belirtmek üzere aşağıdaki eşitsizliği gösteriniz
$$\dfrac{a}{\sqrt[3]{4b^3+4c^3}}+\dfrac{b}{\sqrt[3]{4c^3+4a^3}}+\dfrac{c}{\sqrt[3]{4a^3+4b^3}}<2$$
-
Bu çözüm petrovic kullanmıyor ama yine de eklemek istedim.
$$\sqrt[3]{4b^3+4c^3}\geq b+c$$ olduğunu ispatlayarak başlayalım.
$$(b-c)^2(b+c)\geq 0$$
$$4b^3+4c^3 -(b^3+c^3+3bc(b+c)) \geq 0$$
$$4b^3+4c^3 \geq (b+c)^3$$olur ispat biter.
İstenen eşitsizliğin sol Tarafına $S$ dersek
$$S\leq \dfrac{a}{b+c} + \dfrac {b}{a+c} + \dfrac {c}{a+b}<2 $$ ispatlamak kaldı. Soruyu öncelikle üçgen olma şartından kurtarmak için $a=x+y$ ,$b=y+z$ , $c=x+z$ dönüşümlerini yaparsak
$$\sum_{cyc}^{} \frac{y+z}{2x+y+z} = 3- 2\sum_{cyc}^{} \frac{x}{2x+y+z} $$ Bu ifadeye de cauchy-schwarzu uygularsak
$$\sum_{cyc}^{} \frac{x^2}{x.(2x+y+z)} \geq \dfrac{(x+y+z)^2}{\sum_{cyc} x(2x+y+z)}=\frac{1}{2} + \dfrac {\sum_{cyc}^{} xy}{2(\sum_{cyc}^{} x^2+\sum_{cyc}^{} xy)}>1/2$$ olur çünkü sağda kalan terim pozitiftir üçgen şartından dolayı.
Bu da bize $$ 3- 2\sum_{cyc}^{} \frac{x}{2x+y+z} < 3-2. \frac{1}{2}<2$$ verir.
-
Çözüm için sağ olun. Ben ise Hölder ve Petroviç ile çözüme gideyim..
Hölder Eşitsizliğinden
$$\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}=\sqrt[3]{(1+1)(1+1)(b^3+c^3)}\geq b+c$$
dir. Buna göre
$$\sum_{cyc}{\dfrac{a}{\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}}}\leq \sum_{cyc}{\dfrac{a}{b+c}}\overbrace{<}^{Petrovic} 2$$
Petrovic Eşitsizliğini ise şöyle gösterelim. $a,b,c$ üçgen oluşturduğundan $a<b+c$ yani $a+b+c>2a$ dır. O zaman
$$\sum_{cyc}{\dfrac{a}{b+c}}<\sum_{cyc}{\dfrac{2a}{a+b+c}}=2$$