Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Genç Balkan Matematik Olimpiyatı => 2025 => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Haziran 26, 2025, 03:50:54 ös
-
$\angle A=90^{\circ}$ olan bir $ABC$ üçgeninde $A$ noktasından $BC$ kenarına inen dikme ayağı $D$ ve $CD$ doğru parçasının orta noktası $E$ dir. $ABD$ üçgeninin çevrel çemberi $AE$ doğrusunu ikinci kez $F$ noktasında kessin. $AB$ ve $DF$ doğruları $X$ noktasında kesiştiğine göre $XD=XC$ olduğunu gösteriniz.
-
$AD$ ile $BF$, $H$ de kesişsin. $H$, $\triangle ABE$ nin diklik merkezidir. $EH\perp AB$ olduğu için $EH\parallel AC$. Dolayısıyla $DH:HA=DE:EC=1$.
$AC$ nin orta noktası $M$ olsun. $EM \parallel AD$ olduğu için $EM\perp BC$ ve $\angle EMH=90^\circ$.
$A, B, D, F$ noktaları çemberseldir. Bu çembere $\odot (AB)$ diyelim.
$A, B, E, M$ noktaları çemberseldir. Bu çember de $\odot (BM)$ olsun.
$\odot (EH)$ çemberi de $E, D, H, F, M$ noktalarından geçer.
$\odot (AB)$ ile $\odot (BM)$ nin kuvvet ekseni $AB$, $\odot (AB)$ ile $\odot (EH)$ nin kuvvet ekseni $DF$, $\odot (EH)$ ile $\odot (BM)$ nin kuvvet ekseni $EM$ dir.
Üç çemberin ikişerli kuvvet eksenleri noktadaş olduğu için $X, M, E$ doğrusaldır. $DE=EC$ ve $XE\perp CD$ olduğu için $XD=XC$ dir.