Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2025 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 21, 2025, 11:40:48 ös
-
$33$ öğrencinin katıldığı bir satranç turnuvasında her öğrenci ikilisi arasında tam olarak bir maç yapılmıştır. Her maçta kazanana $1$, kaybedene $0$, berabere kalanların her birine $1/2$ puan veriliyorsa turnuvada tam olarak $7$ puan toplayan öğrenci sayısı en fazla kaç olabilir?
$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 15 \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 17 \qquad\textbf{e)}\ 18$
-
Her maçta $ 1 $ puan verilmektedir.
Kazanan-kaybeden durumu $ 1 $ puan , Berabere-berabere durumu $ 0.5+0.5 = 1 $ puandır.
Her öğrenci ikilisi arasında 1 maç yapılmıştır.
$ Toplam $ $maç$ $sayısı = $ $528 $ tanedir.
$ Toplam $ $puan = 528 $
$ 7$ $ puan$ $ alan$ $ öğrenci $ $ sayısı$ $ en $ $ fazla $ $ k $ $ olsun. $
$ 32 $ puan alan öğrenci sayısı en fazla tam olarak $ 1 $ tane olabilir.
$ 31 $ puan alan öğrenci sayısı en fazla tam olarak $ 1 $ tane olabilir.
$ … $
$ n $ puan alan öğrenci sayısı en fazla tam olarak $ 1 $ tane olabilir.
O zaman $ n $ puandan $ 32 $ puana kadar alınan puanların toplamı=P=(32+n)(33-n)/2
Amaç çok puan alan öğrenci sayısı az olacağı için 7 puan alan öğrenci sayısı en fazla olur.
Diğer puanları $ 7 $ puan öğrenciler alırsa $ 7 $ puan alan öğrenci sayısı en fazla olur.
Artan olabilir ve $ a<= 6 $ dan küçüktür. Bunu da bir öğrenci alabilir eğer artan varsa.
$ Toplam $ $puan = P + 7k +a $
$ 528= (32+n)(33-n)/2 +7k+a=528-(n^2-n)/2+7k+a $
$ (n^2-n)/2=7k+a $
$ n≥k $ dır.
$ n^2-n=14k+2a $
Bu denklemin $ k $ değerini en büyük yapacak şekilde tek çözümü $ n=15 ,k=15 ,a=0 $ dır.
$ n^2-n=14k+2a $ denkleminde yerine koyarsak,
$ 225-15=210=14.15+0=210 $
$ 7 $ puan alabilecek öğrenci sayısı en fazla $ 15 $ olabilmektedir.
Yanıt B