Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2025 => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Mayıs 21, 2025, 05:02:08 ös
-
Kaç $a$ pozitif tam sayısı için $P(x) = x^6 - 6x^5 + 12x^4 - ax^3 + 12x^2 - 6x + 1$ polinomunun pozitif gerçek kökü yoktur?
$\textbf{a)}\ 10\qquad\textbf{b)}\ 11\qquad\textbf{c)}\ 12\qquad\textbf{d)}\ 13\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
-
Cevap: $\boxed{B}$
$a$ pozitif olduğundan polinomun negatif kökü olmadığı barizdir ($x$ yerine $-y$ yazılarak görülebilir). Dolayısıyla, polinomun kökü olmaması yeterlidir. $P(x)=0$ denklemi çözmeye çalışalım. $x=0$ bir kök değildir. $$x^6-6x^5+12x^4-ax^3+12x^2-6x+1=0\implies x^3-6x^2+12x-a+\frac{12}{x}-\frac{6}{x^2}+\frac{1}{x^3}=0$$ olacaktır. $x+\frac{1}{x}=t$ dönüşümü yaparsak, $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ ve $x^3+\frac{1}{x^3}=t^3-3t$ olduğundan denklem $$Q(t):=(t^3-3t)-6(t^2-2)+12t-a=t^3-6t^2+9t+(12-a)=0$$ haline dönüşür. Buradan elde edilen bir $t$ için $x$ çözümü olmaması için bu $t=t_0$ kökleri için $$x+\frac{1}{x}=t_0,\quad\text{yani}\quad x^2-xt_0+1=0$$ çözümü olmamalıdır, yani $\Delta=t_0^2-4<0$ ve $t_0\in (-2,2)$ olmalıdır. $Q$ polinomunun gerçel köklerinin $(-2,2)$ aralığında olmasını istiyoruz. $Q$ polinomunu inceleyelim, $$Q'(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$$ olduğundan $t=1$ noktasında yerel maksimum, $t=3$ noktasında ise yerel minimum vardır. $-\infty,-2,1,2,3,\infty$ noktalarındaki fonksiyonun değerlerini incelersek,
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Q(-\infty) & Q(-2) & Q(1) & Q(2) &Q(3) &Q(\infty) \\ \hline
-\infty & -38-a & 16-a & 14-a & 12-a & \infty \\ \hline
\end{array}
$$ $a\geq 12$ ise $Q(3)\leq 0$ olacağından $[3,\infty)$ arasında bir kök vardır. Bu da isteğimizle çelişir. Dolayısıyla $a\leq 11$ olmalıdır. Bu $a$ değerleri için yerel minimum olan $Q(3)>0$ olduğundan polinomun tek kökü vardır ve $Q(-2)<0$ ve $Q(1)>0$ olduğundan $(-2,1)$ aralığındadır. Dolayısıyla, $a=1,2,\dots, 11$ için $Q$'nun tüm kökleri $(-2,2)$ aralığındadır ve yukarıda da gösterdiğimiz gibi bu bize $P$'nin reel kökü olmadığını gösterir.