Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2025 => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Mayıs 21, 2025, 04:52:54 ös
-
Bir $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ ve ağırlık merkezi $G$ olmak üzere, $|BH| = 3\sqrt{2}$, $|CH| = 6$ ve $m(\widehat{BHC}) = 135^\circ$ ise, $|GH|$ kaçtır?
$\textbf{a)}\ 1 + \sqrt{2} \qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt{3} - 2 \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt{2} - 3 \qquad\textbf{e)}\ 2$
-
Yanıt: $\boxed{E}$.
Problemin kısa bir çözümünün olduğuna inanmakla beraber, sınav anında yaptığım çözümü paylaşmak isterim.
Kosinüs teoremiyle $BC=3\sqrt{10}$ olur. Üçgenin bir yüksekliği $AD$ ve bir kenarortayı da $AM$ olsun. Çevrel merkez $O$ olsun. $H$ diklik merkezinin üçgenin kenarlarına göre yansıması çevrel çember üzerinde olduğundan $(ABC)$ çevrel çemberinin yarıçapı ile $(BHC)$ 'ninki aynıdır. Dolayısıyla $OC=R=\dfrac{3\sqrt{10}}{\sin 135^{\circ}}=3\sqrt{5}$ tir. Ayrıca $BH^2-BD^2=18-BD^2=36-CD^2$ olduğundan $BD=\dfrac{12}{\sqrt{10}}$ olur. Dolayısıyla $DM=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$ dur. Pisagor ile $HD=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ olur. Buna göre $OH^2=\left(OM-HD\right)^2+MD^2=3$ bulunur. $H-G-O$ doğrusallığı ve $GH=2.OG$ olduğundan $GH=2$ bulunur.
-
$CH\cap AB=F$ olsun. $BF=FH=3,AF=6$ olduğu açıktır. $[AB]$'nin orta noktası $D$ olmak üzere $CG:GD=2=CH:FH$ olduğundan $GH\parallel AB$ ve $GH:FD=GH:3=2:3$ olur. $GH=2$ gelir.
-
Analitik çözüm