Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 11, 2025, 09:22:33 öö
-
$ABC$ bir eşkenar üçgen ve $BC$ nin orta noktası $M$ dir. $[BM]$, $[AM]$, $[AB]$ üzerinde sırasıyla $D, E, F$ noktaları $\triangle DEF$ eşkenar olacak şekilde alınıyor. $BF/AF=2/3$ ise $\dfrac{\text{Alan}(DEF)}{\text{Alan}(ABC)}$ nedir?
-
Daha genel halini çözelim.
$BF/AF = m/n$ olsun $(m<n)$.
$DE$ ile $CA$, $G$ de kesişsin. $\angle DEF = \angle GAF = 60^\circ$ olduğu için $AFEG$ dörtgeni kirişler dörtgenidir. Bu durumda, $FE = EG = DE = DF$ olacaktır.
$\angle FBD = \angle DCG = 60^\circ$, $\angle FDG = \angle FBD$ olduğu için $\angle BFD = \angle CDG$. Bu durumda $(AA)$ dan $\triangle FBD \sim \triangle DCG$.
$DG = 2\cdot FD$ olduğu için $BF=m$ dersek $CD = 2m$. $BD= BC - CD = AB - CD = m+n - 2m = n-m$ olur.
$\triangle BFD$ de Kosinüs Teoremi'nden $FD^2 = m^2 + (n-m)^2 - 2m(n-m)\dfrac 12 = m^2 + n^2 + m^2 - 2mn - mn + m^2 = 3m^2 - 3mn + n^2$
$AB^2 = (m+n)^2$ olduğu için $\dfrac{\text{Alan}(DEF)}{\text{Alan}(ABC)} = \dfrac {3m^2 - 3mn + n^2}{(m+n)^2}$. $\blacksquare$
$m=2$, $n=3$ için $\dfrac{\text{Alan}(DEF)}{\text{Alan}(ABC)} = \dfrac {3m^2 - 3mn + n^2}{(m+n)^2} = \dfrac {3\cdot 2^2 - 3\cdot 2 \cdot 3 + 3^2 }{(2+3)^2} = \dfrac {3}{25}$.