Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Nisan 27, 2025, 12:12:13 öö
-
Problem 13. $ABC$ üçgeninde $H$ diklik merkezi, $O$ ise çevrel çember merkezi, $AD$ ise üçgenin bir yüksekliğidir. $X$ noktası $BHC$ üçgeninin çevrel çember merkezi olsun. $AO=25$, $AH=20$ ve $BD.CD=300$ ise $AX$ kaçtır?
-
$H$ diklik merkezinin kenarlar üzerinde simetrisi çevrel çember üzerinde olduğundan $BD.CD=AD.HD$ dir. $AH=20$ olduğundan $AD(AD-20)=300$ yani $AD=30$ elde edilir. $AH\cap (ABC)=H'$ ve $AH\cap (BHC)=Q$ diyelim. $AH=20$, $HD=DH'=10$ ve $D$ noktasının $(BHC)$ çemberine göre kuvvetinden $DQ=30$ bulunur. Ayrıca $QBC\cong ABC$ olduğunu görmek zor değildir ($BD\perp AQ$ ve $AD=DQ$). Buna göre çevrel yarıçapları da eşittir, yani $HX=AO=25$ olur. $HX^2-HH'^2=15^2=AX^2-AH'^2=AX^2-40^2$ olduğundan $AX=\sqrt{15^2+40^2}=5\sqrt{73}$ elde edilir.
-
Problem 9. $ABC$ üçgeninde $BC$ doğrusunun $AC$ ve $AB$ 'ye göre yansımaları, $A$ 'dan $ABC$ 'nin çevrel çemberine çizilen teğet doğrusunu sırasıyla $D$ ve $E$ 'de kesiyor. $BC.ED=180$ ve $ABC$ 'nin çevrel çember yarıçapı uzunluğu $5$ ise $D$ ve $E$ noktalarının $BC$ 'ye uzaklıkları toplamı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 15 \qquad\textbf{c)}\ 18 \qquad\textbf{d)}\ 20 \qquad\textbf{e)}\ 23$
-
Problem 9:
Standart notasyonla, $ABC$ üçgeninin kenarları $a,b,c$; çevrel yarıçap $R$; $a$ kenarına ait yükseklik $h_a$ olsun.
$(AA)$ dan $\triangle DAC \sim \triangle ABC \sim \triangle EBA$.
$AE=AD=\dfrac{bc}a$. Dolayısıyla $BC\cdot ED = 2bc = 180$.
$A$, $D$, $E$ noktalarından $BC$ ye inilen yüksekliklerin ayakları sırasıyla $H, K, L$ olsun. $DK+EL = 2\cdot AH = 2h_a$.
$[ABC]=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{ah_a}{2} \Longrightarrow h_a =\dfrac{bc}{2R}=9 \Longrightarrow DK+EL=2h_a=18$.
-
Problem 9:
$DC$ ile $EB$, $F$ de kesişsin.
$A$, $\triangle BCF$ nin dış merkezi olacaktır. Dış teğet çember, $EB$, $BC$, $CD$ ye sırasıyla $P$, $Q$, $R$ noktalarında dokunsun.
Aynı zamanda $\angle ADC = \angle BEA$ olduğu için $DF=EF$ ve $DA=AE$ olacaktır. $E$ den $FD$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun.
$D$ ve $E$ nin $BC$ ye olan uzaklıkları toplamı $2\cdot AQ = 2\cdot AR = EH$ ye eşittir.
$ABC$ çemberinin $B$ den geçen çapı, çemberi $S$ de kessin. $\angle BSC = \angle BAC = \angle EDH$ olduğu için $\triangle BSC \sim \triangle EDH$. Dolayısıyla, $\dfrac{BC}{EH} = \dfrac{BS}{ED} \Longrightarrow EH = \dfrac{BC\cdot ED}{BS}=\dfrac{180}{2\cdot 5}=18$.
-
Problem 9 dan esinlenerek şöyle bir soru üretebiliriz:
$ABC$ üçgeninde $I$ iç merkez, $J$ de $A$ köşesine karşı dış merkez olsun. $J$ merkezli dış teğet çember $AB$ ye $T$ de dokunsun. $[JBC]=[ITJ]$ olduğunu gösteriniz.