Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Nisan 07, 2025, 01:35:48 öö
-
$x$ ve $y$ pozitif tam sayılar olmak üzere $x^2+xy+y^2$ sayısının son basamağı $0$ ise aslında sondan iki basamağının birden $0$ olduğunu gösteriniz.
-
$x^2+xy+y^2\equiv 0\pmod 2$ ise $2\mid x$ ve $2\mid y$ olmalıdır. Dolayısıyla ifade $4$ ile tam bölünür. $25\mid x^2+xy+y^2$ olduğunu göstermek gerekiyor.
$x^2+xy+y^2\equiv 0\pmod 5$ olduğundan $(2x+y)^2+3y^2\equiv 0\pmod 5$ olur. Çarpımsal tersi almadan önce $5\mid y$ ve $5\mid x$ ise ifade $25$ e bölünür. Aksi türlü ise
$$\left(\dfrac{2x+y}{y}\right)^2\equiv -3\equiv 2\pmod 5$$
olmalıdır. Fakat
$$\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p^2-1}{8}}\Longrightarrow \left(\dfrac{2}{5}\right)=-1$$
olur ve dolayısıyla $-3$ , mod $5$ te karekalan değildir, çözüm yoktur. Sonuç olarak $25\mid x^2+xy+y^2$ olduğundan $100\mid x^2+xy+y^2$ olur ve sayının son iki basamağı birden $0$ elde edilir.
-
Bu aynı zamanda 2004 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 İkinci Aşama sorusudur (https://geomania.org/forum/index.php?topic=8498).