Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Mart 24, 2025, 05:36:09 ös
-
Dar açılı $ABC$ üçgeninde $H$ diklik merkezi, $CF$ ise üçgenin yüksekliği olsun. $P$ noktası ise $H$ diklik merkezinin $BC$ ye göre simetriği olsun. $(AFP)$ çevrel çemberi $BC$ doğrusunu $X$ ve $Y$ de kesiyorsa $XC=CY$ olduğunu gösteriniz.
-
$AD$ yükseklik ve $Y\in [BC]$ olsun. $CF$, $(AFP)$ yi $Z$ de kessin. $(AFP)$ nin merkezi $O$ olsun.
$\angle AFZ = \angle APZ = 90^\circ$.
$PZ\parallel CD$ olduğu için $HD/DP=HC/CZ=1$.
Buradan farklı yollardan sonuca gidilebilir. Birini verelim.
$AO/OZ=CH/CZ=1$ olduğu için $OC\parallel AD$, dolayısıyla $OC\perp XY$. Bu da $CX=CY$ demektir.
-
Elinize sağlık hocam. Alternatif olarak paralellik elde edildikten sonra $XPKY$ yamuğu ikizkenar olur ve $HC=PC=ZC$ olduğundan $C$ orta nokta olarak elde edilebilir.
Ayrıca $C$ noktasının $ZH$ doğru parçasının orta noktası olduğunu kuvvetle de görebiliriz. $AH.HP=2AH.HD=2CH.HF=ZH.HF$ olduğundan $C$ orta noktadır.
Probleme ek olarak, $EHKJ$ paralelkenar olacak şekilde bir $J$ noktası alınsın. Bu nokta $(AFP)$ üzerindedir. Bunu şu şekilde ispatlayabiliriz. $AC\cap (AFP)=K$ olsun.
$$KC.CA=CF.CZ=CH.HF=CE.CA$$
olduğundan $KC=CE$, $HC=CZ$, $EHZK$ paralelkenardır (Böyle bir paralelkenar tek olduğundan tersten ilerlenilebilir). İkinci yol olarak ise $EHZK$ nin paralelkenar olduğunu daha basit bir şekilde $\angle FZK=\angle FAC=\angle EHZ$ ile de gösterebilirdik.