Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Mart 17, 2025, 07:34:13 ös

Başlık: Genelleştirilmiş Romanya District Olimpiyatı #9.3
Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Mart 17, 2025, 07:34:13 ös

Bu bağlantıdaki (https://artofproblemsolving.com/community/u1053236h3523195p34300649) yani aşağıdaki problemin genellenmiş halini #2 de görmektesiniz.

Problem (Romanya District #9.3)
$a+b+c+d=80$  olmak üzere
$$a+\frac{b}{1+a}+\frac{c}{1+a+b}+\frac{d}{1+a+b+c}=8.$$
eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$  ve $d$  pozitif reellerini belirleyiniz.

Başlık: Ynt: Genelleştirilmiş Romanya District Olimpiyatı #9.3
Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Mart 17, 2025, 07:37:41 ös

Genelleştirme 1
$a_1+a_2+\cdots+a_n=k^n-1$  olmak üzere $n,r\geq 1$  ve $k>1$  için

$$a_1^r+\dfrac{a_2^r+r-1}{1+a_1^r}+\dfrac{a_3^r+r-1}{1+ra_1+a_2^r}+\cdots+\dfrac{a_n^r}{1+r(a_1+a_2+\cdots+a_{n-2})+a_n^r}=nk-n$$
eşitliğini sağlayan tüm $a_1,a_2,\cdots,a_n$  pozitif reellerini belirleyiniz.