Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: alpercay - Mart 17, 2025, 11:50:10 öö
-
Verilen herhangi bir $k$ pozitif tam sayısı için, $m$ sayısının ondalık gösterimi $[m]$ ile gösterilmek ve $k$ sayısı bir sonraki asal sayı ile çarpılmak üzere $$S=0,[2k][3k][5k][7k]...$$ sayısı oluşturuluyor. Örneğin $k=2$ için $S=0,461014...$ elde ediliyor. Hangi $k$ sayıları için $S$ sayısı rasyoneldir?
-
Çok basit düşünmüş olabilirim, yanlışım varsa düzeltin. $[p_nk]$ sayısı $m$ basamaklı olsun. O halde $\frac{S}{k}$ sayısı $[p_n]$'lerden oluşacak ancak bu sefer $[p_n]$ sayısının ondalık gösterimi $p_n$'nin uzunluğu kadar değil, $m$ kadar uzun olacaktır, bu yönüyle Copeland-Erdös sayısından farklı olacaktır. Örneğin, $k=2$ için $$\frac{S}{2}=0,2305071113\dots$$ şeklinde olacaktır çünkü $5$, bir birim uzunluğunda olsa bile $2\cdot 5=10$ iki birim uzunluğundadır.
Eğer bir $k$ pozitif tamsayısı için $S$ rasyonel ise $\frac{S}{k}$ da rasyoneldir. Burada (https://geomania.org/forum/index.php?topic=9450) olduğu gibi tüm sayı dizilerinin $\frac{S}{k}$ içinde olduğunu gösterirsek, irrasyonel olduğunu göstermiş oluruz. Dirichlet teoreminden, $a_1a_{2}\dots a_t1$ bile biten bir asal sayı bulabildiğimizden $\frac{S}{k}$ sayısında da $a_1a_2\dots a_t$ dizisi geçecektir. Sayı rasyonel olsaydı, belli bir sayı tekrar edecekti, ancak her diziyi içerdiği için bu söz konusu değildir ve $S$ irrasyoneldir.
-
Hardy-Wright' ın "Theory of numbers" kitabındaki Copeland-Erdos sayısının irasyonelliğinin kanıtından esinlenerek şöyle bir kanıt düşünülebilir:
$S$ sayısı rasyonel olsaydı ondalık açılımı ya belli bir uzunlukta periyodik sayı blokları içerir ya da sonlu olurdu. Dirichlet teoremine göre $p=a+n.10^{r+1}$ biçimimde sonsuz sayıda asal sayı mevcuttur ($n00000..a$ şeklindeki asallar). Daha önce burada (https://geomania.org/forum/index.php?topic=9450) kanıtlandığı üzere bu asal sayılar (aslında $k$ katları) $S$ sayısı içinde bir yerlerde bulunur. Yani $S$ nin içinde keyfi adet ardışık $0$ içeren asallar vardır. Dolayısıyla $S$ nin ondalık açılımı bir noktada sona ermeyen veya tekrar etmeyen bu tarz diziler içerdiğinden $S$ sayısı rasyonel olamaz.
-
Pek matematiksel olmasa da şöyle de bir kanıt da sunulabilir:
Ardışık asal sayıların verilen pozitif $k$ tam sayısı ile çarpılmasıyla oluşturulan $S$ sayısının rasyonel olabilmesi için ondalık gösteriminin ya sonlu olması ya da periyodik bir şekilde tekrar eden bir sayı bloğu içermesi gerekir. Ancak, asal sayıların sonsuz olması nedeniyle, $S$ sonsuz bir rakam dizisine sahip bir sayı olarak düşünülebilir ve herbir ardışık asal sayı öncekinden büyük olacağından $p \cdot k$ çarpımları da büyür ve bu durum ondalık gösterimdeki basamak sayısının sürekli artmasına neden olur. Periyodik bir dizide, sabit uzunlukta ve aynı rakamların tekrar ettiği blokların bulunması gerekir, ancak $S$’nin basamak sayısı sürekli arttığından bu mümkün değildir. Bu nedenle, $S$’nin basamak dizisi periyodik olamaz ve dolayısıyla $S$ irasyonel bir sayı olmalıdır.