Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: alpercay - Mart 07, 2025, 01:12:54 ös
-
Copeland-Erdös sayısı şöyle tanımlanır:
(10 tabanında) $0,2357111317192329\cdots$ (virgülden sonra, tüm asal sayılar sırayla yazılmış)
Her $n$ pozitif doğal sayısı için, $n$ terimli rakam dizisinin, bu sayının ondalık basamakları arasında bulunduğunu gösteriniz.
-
$n$ basamaklı bir rakam dizisi alalım. Başına ve sonuna $1$ ekleyerek $n+2$ basamaklı $k$ tamsayısını oluşturalım. Burada başına $1$ ekleme sebebimiz, eğer $0$ ile başlıyorsa sıkıntı çıkarmasın diye, sonuna $1$ ekleme sebebimiz ise $10$ ile aralarında asal olmasını sağlamak. $10^{n+2}$ ile $k$ aralarında asal olduğundan Dirichlet'in teoremi gereği $10^{n+2}t+k$ formatında sonsuz asal sayı vardır. Bu asal sayılardan birini alalım. Son $n+2$ basamağı içinde, yani $k$'nın içinde, istediğimiz $n$ terimli rakam dizisi olduğundan ve bu asal sayı Copeland-Erdös sayısı içinde yer aldığından rakam dizisi ondalık basamakların arasındadır.
Dirichlet teoremi kullanmadan bu sorunun basit bir ispatı olacağını sanmıyorum ama varsa duymak isterim.
-
Bu sayı 10 luk tabanda normal olduğundan iddianın doğru olduğu direkt söylenebilir fakat kanıtı lisans düzeyinde değil. Dirichlet teoremi haricinde basit bir kanıtına rastlamadım. Şu makaleye bakılabilir : https://math.dartmouth.edu/~stevefan/papers/The%20Copeland-Erdos%20Theorem%20on%20Normal%20Numbers.pdf
Normal sayı tanımı https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number
Aşkın ve normal sayılar hakkında bir yazı https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=683.0;attach=3472
Aynı çözümü bir örnek vererek tekrar edelim
Dirichlet teoremi gereği $a+n.d$ aritmetik dizisinde $(a,d)=1$ olmak üzere sonsuz sayıda asal bulunur. Herhangi bir rakam dizisini alalım. Bu dizinin sonuna $1$ eklediğimizde ($(a,d)=1$ koşulunu garantilemek için) oluşan sayıya $a$ diyelim ve bu sayının basamak sayısı $k$ olmak üzere dizinin ortak farkı $d=10^k$ sayısı olsun. Dirichlet teoremi gereği bu dizi bir asal sayı içerecektir ve bu asal sayı tanım gereği Copeland-Erdös sayısının basamakları arasında görünecektir. Örneğin $684$ sayısı için $a=6841$, ve $d=10^4$ alarak oluşturulan $6841,16841,26841,...$ dizisi Dirichlet teoremi gereği en az bir asal içermelidir.