Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: geo - Şubat 22, 2025, 09:48:45 öö

Başlık: (k3=1, N=4) Kesen Problemi
Gönderen: geo - Şubat 22, 2025, 09:48:45 öö

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine (https://geomania.org/forum/index.php?topic=6748.msg19470#msg19470) konusunda anlatılan $(k_3 = 1, N=4)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AD:BC=1$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC = b = 100^\circ$, $\angle ACB = c = 30^\circ$, $\angle BAC = a = 50^\circ$, $\angle ADC = d = 140^\circ $, $\angle BAD = a_1 = 40^\circ$, $\angle CAD = a_2 = 10^\circ$ açıları verilen şartı sağlamakta. Bunlardan herhangi ikisi verildiğinde diğerlerinin bulunmasının sorulduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_3 = 1
& 4.0 & (b=100^\circ, c=30^\circ, d=140^\circ) & k_3 = 1 \\
& 4.1 & (k_3 = 1, b=100^\circ, c = 30^\circ)  & a_1 = 40^\circ \\
& 4.2 & (k_3 = 1, a=50^\circ, d = 140^\circ)  & a_1 = 40^\circ \\
& 4.3 & (k_3 = 1, b=100^\circ, a_1 = 40^\circ)  & a_2 = 10^\circ \\
& 4.4 & (k_3 = 1, b=100^\circ, a_2 = 10^\circ)  & a_1 = 40^\circ \\
& 4.5 & (k_3 = 1, c=30^\circ, a_1 = 40^\circ)  & a_2 = 10^\circ  \\
& 4.6 & (k_3 = 1, c=30^\circ, a_2 = 10^\circ)  & a_1 = 40^\circ  \\
& 4.7^* & (k_3 = 1, a_1=40^\circ , a_2 = 10^\circ)  & b = 100^\circ \text{ veya } b = ? \\

\end{array}
$$

İlgili soruların forumda işlendiği başlıklar:

4.0 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=9444.msg26095#msg26095)
4.3 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=4731.0)

Başlık: Ynt: (k3=1, N=4) Kesen Problemi
Gönderen: geo - Şubat 22, 2025, 09:37:34 ös

Problem:
$(k_3 = 1, N=4.0) = (b=100^\circ, c=30^\circ, d=140^\circ) \Longrightarrow k_3 = 1$


Çözüm:
$BAD$ nin açıortayı $BD$ yi $E$ de kessin.

size(10cm);

// (k3=1, N=4.0): b=100, c=30, d=140 -> AD = BC
// Orijinal problem: SIYAH. Cozum icin eklenenler: KIRMIZI.
real b = 100, c = 30;

pair B = (0,0);
pair C = (7,0);

real AB = length(C-B) * sin(c*pi/180) / sin((180-b-c)*pi/180);
pair A = B + AB*dir(b);

real angAB = degrees(B - A);
pair D = extension(A, A + dir(angAB + 40), B, C);   // ADB = 40
pair E = extension(A, A + dir(angAB + 20), B, C);   // BAD acortayi (20)

path cc = circumcircle(A, B, E);
pair[] fs = intersectionpoints(cc, A--D);
pair F = fs[0];
if (length(fs[0]-A) < 0.05) F = fs[1];

// --- ORIJINAL PROBLEM (siyah) ---
draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);


draw(anglemark(C, B, A));
label("$100^\circ$", anglemark(C, B, A), NE*0.5);

draw(anglemark(C, D, A));
label("$140^\circ$", anglemark(C, D, A), NE*0.5);

markangle("$30^\circ$", A, C, B);                  // dar aci, varsayilan

// --- COZUM ICIN EKLENENLER (kirmizi) ---
draw(A--E, red);
draw(A--F, red);
draw(cc, red);

dot(A); dot(B); dot(C); dot(D);
dot(E, red); dot(F, red);
label("$A$", A, NW);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, S);
label("$E$", E, S, red);
label("$F$", F, E, red);

$ABE$ üçgeninin çevrel çemberi $AD$ yi $F$ de kessin. $ABEF$ kirişler dörtgeninde $BE=EF$.
$\angle AEB = 60^\circ$, dolayısıyla $AE = EC$.
$\angle FED = 40^\circ$, dolayısıyla $FD=FE = BE$.
$AD=AF + FD = AE + BE = EC + BE = BC$. $\blacksquare$