Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Kasım 13, 2024, 12:46:38 öö
-
Aşağıdaki diyofant denklemini sağlayan tüm $(x,y,z)$ pozitif tam sayı üçlülerini bulunuz.
$$x^2+4^y=5^z$$
-
$y\geq 2$ ise $x$ tek olduğundan $$x^2+4^y\equiv 1\pmod{8}\implies 5^z\equiv 1\pmod{8}.$$ $z$ tek olursa $5^z\equiv 5\pmod{8}$ olacağından çelişki elde edilir. $z$ çifttir. $z=2u$ diyelim. $$4^{y}=2^{2y}=5^{2u}-x^2=(5^u-x)(5^u+x)$$ olduğundan $m>k$ olmak üzere $5^u-x=2^k$ ve $5^u+x=2^m$ formatında olmalıdır. Taraf tarafa toplarsak, $$2\cdot 5^u=2^k+2^m=2^k(1+2^{m-k})\implies k=1.$$ Yerine yazarsak, $x=5^u-2$ ve $2^m=2\cdot 5^u-2$ olacaktır. Kuvvet kaldırma teoreminden $$m=v_2(2\cdot 5^u-2)=1+v_2(5^u-1)=\begin{cases}1+v_2(5-1)&\text{eğer }u\text{ tek ise}\\ 1+v_2(5-1)+v_2(5+1)+v_2(u)-1&\text{eğer }u\text{ çift ise}\end{cases}=\begin{cases}3&\text{eğer }u\text{ tek ise}\\ 3+v_2(u)&\text{eğer }u\text{ çift ise}\end{cases}.$$ İki durumda da $m=3+v_2(u)$'dur. $$v_2(u)=m-3\implies 2^{m-3}\mid u\implies u\geq 2^{m-3}.$$ Eğer $2^{m-3}=t$ dersek, $$8t=2\cdot 5^{u}-2\geq 2\cdot 5^{t}-2\implies 4t+1\geq 5^t $$ elde edilir. $t\geq 2$ için eşitsizlik bozulacağından $t=1$ olmalıdır. Yani $m=3$ olmalıdır. Yerine yazarsak, $u=1$ ve $x=3$ bulunur. Sonuç olarak $(x,y,z)=(3,2,2)$ çözümünü buluruz. Aynı çözümün sadece $z$ çiftken de elde edildiği görülebilir. Dolayısıyla $z$'nin tek olduğunu varsayabiliriz.
$y=1$ ise denklem $x^2+4=5^z$ haline gelir. $z=2n+1$ yazalım. $x^2=5(5^n)^2-4$ elde edilir. İspatı kolay olmamakla beraber
Lemma: $m\geq 0$ için $5m^2+4$ veya $5m^2-4$ tamkaredir ancak ve ancak $m$ bir fibonacci sayısıdır.
lemması vardır. Lemmanın bir yönü klasik Fibonacci dizisi eşitliklerinden gösterilebiliyor, diğer tarafı için devamlı kesirler (continued fractions) konusunu bilmek gerekiyor. Yani $5^n$ bir fibonacci sayısı olmalıdır. Yani soru Fibonacci dizisinde kaç tane $5$'in kuvveti vardır sorusuna dönüşür. Bugeaud, Mignotte, Siksek, 2004 yılında Fibonacci dizisinde bir sayının 1'den büyük kuvveti olan tüm sayıların $0,1,8,144$ olduğunu göstermiştir. Dolayısıyla, $5^n=1,5$ olabilir. Bunlar da $1+4=5$, yani $(x,y,z)=(1,1,1)$ ve $11^2+4=5^3$, yani $(x,y,z)=(11,1,3)$ bulunur.
$n\geq 2$ için $5^n$'in fibonacci olmadığının basit bir ispatı var mı şu anlık bilmiyorum.
-
Denklemin son halinden devam edeyim. $n$ yerine $w$ yazıcam. ( değişkenler karışmasın diye) $x$ tek, $x^2=5.(5^w)^2-4$ sonucuna sahibiz. Buradan $$x^2+4=5.(5^w)^2$$ yani ($a^2+b^2=5c^2$) tipinde bir pisagor tipi parametrizasyon kullanarak ilerleme kaydedebiliriz. Bu denklemin parametrizasyonu $k.(m^2-4mn-n^2),k.(2m^2-2mn-2n^2),k.(m^2+n^2)$ olduğu ispatlanabilir. Burada $(m,n)=1$ ve $m\not \equiv n (mod2)$ olmalıdır ($m=0$ ve $n=0$ ayrı inceleme gerektiriyor). Çünkü $(a,b)=1$ olacak şekilde seçim yaparsak $a^2+b^2=5c^2$ yani $a,b$ aynı anda tekse $a^2+b^2\equiv 2(mod4)$ yani $c^2\equiv 2(mod4)$ olur. Çelişki. $a,b$ aynı anda çift olursa aralarında asallıkla çelişir. Dolayısıyla $a,b$ zıt paritededir. Buradan yola çıkarsak $k.(2m^2-2mn-2n^2)$ çift olduğundan $m^2-4mn-n^2$ tek olmalı yani $m^2-n^2\equiv 1(mod2)$ olmalıdır. Buradan $m,n$ zıt parite olduğu görülebilir. Diğer taraftan $(m,n)=d$, $d>1$ ise $(m',n')=1$ olacak şekilde aynı parametrizasyonu başkatsayı $kd$ olacak şekilde elde ediyoruz. Dolayısıyla $(m,n)=1$ kabulümüzde de sakınca yoktur. Buradan yola çıkarsak ve $x$ in daima tam sayı olması garanti olduğundan diğer iki parametrizasyonu yazmamız bize yeterli.
$$k.2.|m^2-mn-n^2|=2, k.(m^2+n^2)=5^w$$ gelir. Buradan $k=1$ görülebilir ve şunu elde ederiz. $|m^2-mn-n^2|=1$ ve $m^2+n^2=5^w$ Buradaki ilk denklemin genel çözüm kümesi $(F_k,F_{k+1})$ olduğu için (veya ($F_{k+1},F_k$)) bununla ilgili çözümü IMO $Q3$ altına ekledim. https://geomania.org/forum/index.php?topic=4505.msg26623;topicseen#new $F_k^2+F_{k+1}^2=F_{2k+1}=5^w$ geliyor. Yani $5^w$ terimi tek numaralı fibonacci terimi olmalı. Soru bize artık $5$ in kuvveti şeklinde yazılabilen fibonacci terimlerini soruyor.
Fibonacci terimleri şu özdeşlikleri sağlar : (Buradaki $m,n$ yukarıdaki parametrizasyondakiler değil)
$m|n$ ise $F_m|F_n$ ve $5|F_n \Leftrightarrow 5|n$
Bunlardan ilki biraz daha bilindik (Yine Tümevarımla ispatı mümkün) ben ikincisini ispatlayayım:
Öncelikle Fibonacci dizisinin $n\geq 0 $ için $F_n\equiv n.3^{n-1}(mod5)$ sağladığını görelim. ($n=0$ ise $0(mod5)$ olduğunu zaten biliyoruz.)
İspat: $n\geq 1$ olsun. Denkliğin sağ tarafındaki ifadeyi $G_n$ olarak tanımlayalım. Tümevarım kullanalım.
$F_0\equiv G_0(mod5)$ ve $F_1\equiv G_1(mod5)$ görülebilir.
$F_n\equiv G_n(mod5)$ ve $F_{n-1}\equiv G_{n-1}(mod5)$ olduklarını kabul edelim. $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ olduğunu biliyoruz. Buradan
$$F_{n+1}\equiv G_n+G_{n-1}(mod5)$$ gelir. $F_{n+1}\equiv n.3^{n-1}+(n-1).3^{n-2}(mod5)$ yani $F_{n+1} \equiv (4n-1)3^{n-2}(mod5)$ Buradan da $F_{n+1}\equiv (4n+4)3^{n-2}(mod5)$ yazabiliriz. Buradan da $F_{n+1}\equiv 3^{n-2}.9.(n+1)(mod5)$ yani $F_{n+1}\equiv G_{n+1}(mod5)$ gelir. İspat biter.
$F_n\equiv n.3^{n-1}(mod5)$ denkliğinde $3$ ün kuvveti $5$ çarpanı içeremediğinden $5|n$ olması gerektiğini görürüz. Buradan yola çıkarak çift yönlü olarak Lemma'yı ispatlamak kolaydır.
Şimdi bu bilgileri kullanarak $n=5^a.u$ olsun ve $u\not \equiv 0(mod5)$ olsun. $u> 2$ ise $u|n$ olduğunda $F_u|F_n$ olur ve $F_u\not \equiv 0(mod5)$ olduğundan çelişki gelir. ($5$ in kuvveti yazılamaz.) $F_2=1$ olduğundan $u=2$ için buradan çelişki gelmiyor.
O halde $n=5^a$ formatında olmalıdır. $F_5=5$ olduğunu görüyoruz . Öte yandan $F_{25}=3001.5^2$ dir. yani $3001|F_{25}$ bu da bize $a\geq 3$ için $3001|F_{n}$ verir. Çelişki.
Sona kalan olasılık da $n=2.5^a$ dır. $F_{10}=55$ olduğundan sonraki $2.5^a$ formatındaki ifadeler $11|F_n$ sağlamalıdır. Çelişki.
O halde $5$ in kuvveti olarak yazılabilen tek fibonacci terimi $5$ tir. Ayrıca $1$ de $5$ in $0$ kuvveti olduğundan $5^w=5$ veya $5^w=1$ gelir. Buradan $w=0$ veya $w=1$ olur. Buradan da üstteki çözüme bağlanmış oluyoruz. Tabi bu değerleri ilk denklemde denemek gerekiyor. Çünkü geçişleri yaparken $(m,n)=1$ almıştık ve ardışık fibonacciler bu durumu daima sağlamak zorunda değil.
Not: Alternatif olarak pisagor parametrizasyonundan gelen $2$ denklemi sistem şeklinde doğrudan çözmeyi deneyebiliriz ancak işin içinden çıkamadım.
Not2: $x^2+D=AB^n$ tipi denklemler Ramanujan Nagell Type Diophantine Equations olarak biliniyor. Vikipedi'deki ilgili yazı incelenebilir. Ancak bu formatta benzer bir soru olimpiyatlara uygun olacak şekilde türetilebileceğini düşünmüyorum. Türünün tek örneği gibi duruyor :) Çözümü yaptıktan sonra bu soruda tek numaralı fibonacci terimi olduğunu bildiğimiz için $2.5^a$ formatı durumuna bakmamıza gerek olmadığını fark ettim.