Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Ekim 30, 2024, 10:19:26 ös
-
2023 yılının Balkan MO Shortlist'inden bir problemle uğraşıyordum. Diklik merkezi konfigürasyonu üzerine kuruluydu. Problemin ispatında yararlı bir özellik fark ettim. Burada da paylaşmış olayım.
Problem:
$ABC$ üçgeninde $H$ diklik merkezi ve $D$, $E$ ve $F$ noktaları ise sırasıyla $A$, $B$ ve $C$ köşelerinden inilen dikme ayaklarıdır. $P$ ve $Q$ noktaları, sırasıyla $(BDH)$ ve $(CDH)$ çevrel çemberleri ile $(ABC)$ çevrel çemberinin kesişim noktalarıdır. $PH$ doğrusu $AC$ yi $R$ de, $QH$ doğrusu ise $AB$ yi $S$ noktasında kestiğine göre $P$, $Q$, $R$ ve $S$ noktaları çemberseldir, gösteriniz.
-
$\angle RCF = \angle ECH = \angle FBH =\angle FPH = \angle FPR$ olduğu için $P, C,R,F$ çemberseldir. Bu durumda $PH\cdot HR = CH \cdot HF$ olur.
Benzer şekilde $BH\cdot HE = QH\cdot HS$ olur.
$BCEF$ kirişler dörtgeninde $CH\cdot HF= BH\cdot HE$ olduğu için $PH\cdot HR= QH\cdot HS$ olur. Bu durumda $P,Q,R,S$ noktaları çemberseldir.
-
Asıl problemi paylaşalım:
Balkan MO Shortlist 2023 #G.4
Çeşitkenar bir $ABC$ üçgeninde $O$ çevrel merkez ve $H$ diklik merkezidir. $AH$ ile $BC$ doğrularının kesişimi $D$ noktasıdır. $X$ noktası, $OH$ doğrusu ile $BC$ nin kesişimidir. $P$ ve $Q$ noktaları ise sırasıyla $(BDH)$ ve $(CDH)$ çevrel çemberlerinin $(ABC)$ çevrel çemberi ile kesişimleri ise $P$, $D$, $X$ ve $Q$ noktaları çemberseldir, gösteriniz.
-
Ayrıca açılar kurcalandığında $\triangle PFH\sim \triangle QEH$ olduğunu da söyleyebiliriz.
Şayet probleme yönelik baktığımızda ilk sorudaki $S$ ve $R$ noktalarının sırasıyla $AB$ ve $BC$ kenarlarının orta noktaları olduğunu göstermek gerekiyor.
-
Ek olarak, ilk problemde
$i)$ $CFPR$ ve $BESQ$ dörtgenleri çemberseldir
$ii)$ $BEPR$ ve $CFQS$ dörtgenleri çemberseldir
$iii)$ $(BEPR)$ ve $(CFQS)$ çevrel çemberlerinin kuvvet ekseni üçgenin $AD$ yüksekliği üzerindedir, gösteriniz.
$-------------------------------------$
Toparlayacak olursak
Çeşitkenar $ABC$ üçgeninde $O$ ve $H$ sırasıyla çevrel merkez ve diklik merkezidir. $AD$, $BE$ ve $CF$ ise üçgenin yükseklikleridir. $BDH$ ve $CDH$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez sırasıyla $P$ ve $Q$
noktalarında kesiyor. $PH$ ve $QH$ doğruları $AC$ ve $AB$ 'yi sırasıyla $R$ ve $S$ noktalarında kesiyor. $PBR$ üçgeninin çevrel çemberi $AB$ doğrusunu $J_1\neq B$ ve $CQS$ üçgeninin çevrel çemberi de $AC$ doğrusunu $J_2\neq C$ noktasında kesiyor. Ek olarak, $OH$ ile $BC$ doğrusu $X$ noktasında kesişiyor.
Aşağıdaki ifadeleri ispatlayınız:
1) $R$ ve $S$ noktaları sırasıyla $AC$ ve $AB$ kenarlarının orta noktalarıdır.
2) $P$, $Q$, $R$ ve $S$ noktaları çemberseldir.
3) $C$, $F$, $P$ ve $R$ noktaları çemberseldir. Benzer şekilde $BESQ$ de çemberseldir.
4) $B$, $E$, $P$ noktaları $R$ çemberseldir. Benzer şekilde $CFQS$ de çemberseldir.
5) $J_1R\parallel CF$ ve $J_2S\parallel BE$
6) $J_1$, $J_2$, $R$ ve $S$ noktaları çemberseldir.
7) $(J_1J_2RS)$ çevrel çemberi hem $(APR)$ çevrel çemberine hem de $(AQS)$ çevrel çemberine aynı anda teğettir.
8) $AH$ doğrusu $(BEPR)$ ve $(CFQS)$ çevrel çemberlerinin kuvvet ekseni üzerindedir.
9) $X$, $D$, $P$ ve $Q$ noktaları çemberseldir
(Balkan MO SL 2023 G.4)
-
Geo hoca birkaç özelliği ispat etmişti. Bütünlük açısından bir daha gösterelim:
1) $H$ dikliklik merkezinin $ABC$ üçgeninin kenarlarının orta noktalarına göre yansımalarının $(ABC)$ çevrel çember üzerinde olduğunu biliyoruz. Ayrıca, $AA'$ çevrel çap olduğunda $H$, $M_A$ ve $A'$ noktaları doğrusaldır (Basit açı taşımayla yapılabilir). Buna göre $\angle BPH=\angle HQZ=90^{\circ}$
olduğundan $S$ ve $R$ noktaları sırasıyla $AB$ ve $AC$ kenarlarının orta noktalarıdır.
2) $BDFHP$ ve $CDHEQ$ beşgenlerinin çembersel olduğunu biliyoruz. Buna göre $\angle HPD=\angle HBD=\angle CAD$ olduğundan $ADPR$ dörtgeni çemberseldir. Benzer şekilde $ADQS$ dörtgeni de çemberseldir. Bu iki çemberde $H$ noktasının kuvvetinden
$$PH\cdot HR=AH\cdot HD=QH\cdot HS$$
olduğundan $PQRS$ dörtgeni çembersel olur.
3) İlk özellik 2)'de elde edilen $(ADPR)$ çemberselliği ile $H$ diklik merkezinin özelliklerinden $PH\cdot HR=AH\cdot HD=CH\cdot HF$ bulunur ve $CFPR$ dörtgeni çemberseldir. Benzer şekilde 2)'deki $(ADQS)$ çemberselliği sonucu $AH\cdot HD=SH\cdot HQ=BH\cdot HE$ bulunur, $BESQ$ dörtgeni çemberseldir.
4) Yine 2)'de elde ettiğimiz $(ADPR)$ ve $(ADQS)$ çemberselliklerinden dolayı
$$AH\cdot HD=PH\cdot HR=BH\cdot HE\Longleftrightarrow \qquad BEPR \quad \text{çemberseldir}$$
$$AH\cdot HD=QH\cdot HS=CH\cdot HF\Longleftrightarrow \qquad CHQS \quad \text{çemberseldir}$$
5-6-8) $AH$ doğrusunun $(BEPR)$ ve $(CFQS)$ çevrel çemberlerinin kuvvet ekseni üzerinde olması için gerek ve yeter şart $H$ ve $A$ noktalarının bu iki çembere eşit kuvvete sahip olmalıdır. İlkin $H$ diklik merkezi için gösterelim. Şayet $PH\cdot HR=QH\cdot HS$ olduğundan $H$ noktası kuvvet ekseni üzerindedir.
$A$ noktasına gelecek olursak, öncelikle $J_1J_2RS$ dörtgeninin çembersel olduğunu gösterelim. İlkin $\angle HPB=\pi-\angle HDB=90^{\circ}=\angle RPB=\angle RJ_1B$ olduğunu görelim. Benzer şekilde $\angle HQC=\pi-\angle HDC=90^{\circ}=\angle SQC=\angle SJ_2C$ olduğundan $J_1R\parallel CF$ , $ J_2S\parallel BE$ ve $\angle RJ_1S=\angle SJ_2R$ bulunur, $J_1J_2RS$ dörtgeni çemberseldir. $A$ noktasının kuvveti sağladığını başka bir zaman ekleyeceğim.