Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Ekim 14, 2024, 10:31:14 ös
-
Dışbükey $ABCD$ dörtgeninde $AC$ ve $BD$ köşegenlerinin kesişimi $E$ noktasıdır. $ADE$ ve $BCE$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $AB$ doğrusunu sırasıyla $P\neq A$ ve $Q\neq B$ noktalarında kesiyor. $ACP$ üçgeninin çevrel çemberi $AD$ doğrusunu $R\neq A$ noktasında, $BDQ$ üçgeninin çevrel çemberi ise $BC$ doğrusunu $S\neq B$ noktasında kesiyor. Buna göre $A$, $B$, $R$ ve $S$ noktalarının çembersel olduğunu ispatlayınız.
-
$AD\cap BC=F$, $(BDQ)\cap AD=N$ ve $(ACP)\cap BC=M$ olsun.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Öncelikle $D$, $E$, $C$, $M$ ve $N$ noktalarının çembersel olduğunu gösterelim:
$B$ noktası $(APED)$ ve $(APCLR)$ çemberlerinin kuvvet ekseni üzerindedir. Dolayısıyla $BP\cdot BA=BE\cdot BD=BC\cdot BM$ olduğundan $C$, $D$, $E$ ve $M$ noktaları çemberseldir. Benzer şekilde $A$
noktası $(BCEQ)$ ve $(BQDKS)$ çemberlerinin kuvvet ekseni üzerindedir ve $AQ\cdot AB=AE\cdot AC=AD\cdot AN$ bağıntısı sağlandığından $C$, $D$, $E$ ve $N$ noktaları da çemberseldir. Sonuç olarak tüm $D$,$E$,$C$,$M$ ve $N$ noktaları ortak bir çember üzerindedir.
Şimdi problemde isteneni, yani $A$,$B$,$R$ ve $S$ noktalarının çemberselliğini gösterelim:
$F$ noktasının sırasıyla $(DECKL)$, $(APCLR)$ ve $(BQDKS)$ çemberlerinin göre kuvvetlerinden $FK\cdot FD=FL\cdot FC=FR\cdot FA=FS\cdot FB$ bulunur, ki $A$, $B$, $R$ ve $S$ noktalarının çembersel olduğunu gösterir.