Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Eylül 27, 2024, 03:39:38 ös
-
Dar açılı $ABC$ üçgeninde $CC'$ yüksekliği $AB$ çaplı çemberi ilk $M$ noktasında, ikinci olarak da $N$ noktasında kessin. $BB'$ yüksekliği ise $AC$ çaplı çemberi ilk $P$, ikinci olarak da $Q$ noktalarında kesiyor. Buna göre $M$, $N$, $P$ ve $Q$ noktalarının çemberselliğini gösteriniz.
-
$MNPQ$ çemberselliğinin yanı sıra
$$AN=AQ \quad ,\quad PB'=QB' \quad \text{ve} \quad MC'=NC'$$
özelliklerinin sağlandığını da söyleyebiliriz.
-
İlk olarak istenen çemberselliği gösterelim. $A$ 'dan inilen dikme ayağı da $A'$ olsun. Diklik merkezi $H$ olsun. $A'\in (ACC')$ olduğundan $AH\cdot HA'=CH\cdot HC'\quad \text{ve} \quad AC'\cdot AB=AB'\cdot AC$ dir.
Ayrıca $NAMA'B$ ve $QAPA'C$ beşgenleri çembersel olduğundan (çemberler sırasıyla $w_1$ ve $w_2$ ise) $H$ diklik merkezinin $w_1$ ve $w_2$ çemberlerine göre kuvvetinden
$$NH\cdot HM=AH\cdot HA'=CH\cdot HC'=QH\cdot HP$$
olur. Dolayısıyla $MNPQ$ dörtgeni $H$ noktası için kuvvet sağladığından çemberseldir.
Şimdi ise $AN=AQ, \quad PB'=QB'\quad \text{ve} \quad MC'=NC'$ olduğunu gösterelim. Öklid Bağıntılarından ve yine $w_1$ ve $w_2$ çemberlerinde kuvvetten
$$AN^2=AC'\cdot AB=AB'\cdot AC=AQ^2\Longleftrightarrow AN=AQ$$
$$C'N^2=AC'\cdot BC'=C'N\cdot MC'\Longleftrightarrow NC'=MC'$$
$$B'Q^2=AB'\cdot CB'=B'Q\cdot PB'\Longleftrightarrow QB'=PB'$$
elde edilir ve diğer üç eşitlik de sağlanır.