Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Ağustos 28, 2024, 05:35:28 ös
-
$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AB+BD=AC+CD$ koşulunu sağlayan bir $D$ noktası alınsın. Buna göre üçgenin $B$ ve $C$ köşeleri ile $ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinin ağırlık merkezleri çemberseldir. $ABC$ üçgeninin ikizkenar olduğunu ispatlayınız.
-
$ABD$ ve $ACD$ üçgenlerinin ağırlık merkezleri sırasıyla $G_1$ ve $G_2$ olsun. Ağırlık merkezinin özelliğinden $G_1G_2//BC$ olduğu açık. Açı hesabı ve kirişler dörtgeni kullanarak kolayca $BG_1G_2C$ dörtgeninin ikizkenar yamuk olduğu ; yani $BG_1=CG_2$ görülür. Buna göre $ABD$ üçgeni ve $ACD$ üçgeninin $AD$ kenarına ait kenarortayları eşit olur. Dolayısıyla bu üçgenlerde kenarortay teoremi yazılırsa $AB^2+BD^2=AC^2+CD^2$ sonucuna ulaşılır. Aynı zamanda $AB+BD=AC+CD$ olduğundan kare alınırsa $AB.BD=AC.CD$ olduğu da görülür. Eğer $AB=CD$ olursa $BD=AC$ yani $AB+BD=AB+AC=BC$ çelişkisi oluşur. Bunun sonucu olarak $AB=AC$ olmalıdır.
-
Başka bir yol olarak $ABD$ ve $ACD$ üçgenlerine kosinüs teoremi uygulayınca $AB.BD.\cos B=AC.CD.\cos C$ oldu. Devamında Stewart kullanayım dedim fakat ikisini birleştiremedim.
-
alpercay hocamın çözümünü tekrarlayacağım.
$I$, $ABC$ nin iç merkezi olsun.
$AB+BD=AC+CD$ eşitliğinden $D$ dış teğet çemberin değme noktasıdır.
$D'$, iç teğet çemberin $BC$ ye değdiği nokta olsun.
Kenarortayların eşitliğinden $AB^2+BD^2=AC^2+CD^2$ elde edilir. $BD=CD'$ eşitliğinden $AB^2+CD'^2=AC^2+BD'^2$.
Bu da $AD'\perp BC$ anlamına gelir. $ID'\perp BC$ olduğu için $AB=AC$ dir.