Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: alpercay - Ağustos 14, 2024, 11:35:45 ös
-
$\triangle ABC$ üçgeni içinde bir $P$ noktası $<PBC=54^{\circ}$, $<PCB=18^{\circ}$, $<PCA=30^{\circ}$ ve $<PAC=42^{\circ}$ olarak alınıyor. Buna göre $<PBA$ açısını bulunuz.
-
$AP$, $BP$ ve $CP$ kesenleri (Cevianları) için Trigonometrik Ceva kullanacağız
Bir Trigonometrik Hile
$x,y,a,b<0^{\circ}$ için $x+y=a+b<180^{\circ}$ olmak üzere
$$\dfrac{\sin x}{\sin y}=\dfrac{\sin a}{\sin b}$$
ise $x=a$ ve $y=b$ dir.
Hilenin ispatı kolay olduğundan okuyucuya bırakalım.
Trigonometrik Özdeşlik
$$\sin(3\theta)=4\cdot \sin\theta\cdot \sin(60^{\circ}+\theta)\cdot \sin(60^{\circ}-\theta)$$
özdeşliği doğrudur ve $\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ ile gösterilebilir. Ayrıca özdeşlik sinüs fonksiyonunun yanı sıra kosinüs fonksiyonu için de geçerlidir. Özdeşlikte $\theta=18^{\circ}$ için
$$\dfrac{\sin 54^{\circ}}{2\cdot \sin 18^{\circ}\cdot \sin 42^{\circ}}=2\cdot \sin 78^{\circ}$$
elde edilir. Bunu birazdan kullanacağız. $\angle BAP=x$ için Trigonometrik Ceva'ya göre
$$\dfrac{\sin 30^{\circ}\cdot \sin 54^{\circ}}{\sin 42^{\circ}\cdot \sin 18^{\circ}}=\dfrac{\sin(36^{\circ}-x)}{\sin x}$$
olacaktır. Sol tarafta özdeşlikten elde ettiğimiz ifadeyi kullanırsak
$$\dfrac{\sin 30^{\circ}\cdot \sin 54^{\circ}}{\sin 42^{\circ}\cdot \sin 18^{\circ}}=2\cdot \sin78^{\circ}=\dfrac{2\cdot \sin 12^{\circ}\cdot \cos12^{\circ}}{\sin 12^{\circ}}=\dfrac{\sin 24^{\circ}}{\sin 12^{\circ}}=\dfrac{\sin(36^{\circ}-x)}{\sin x}$$
olur ve Trigonometrik Hile'den $\angle BAP=x=12^{\circ}$ bulunur.
-
Teşekkürler, fakat aslında sentetik bir çözüm arıyorum.
-
bkz. Model 1.9 (https://output.jsbin.com/punicob/1#54,18,30,42).
Model Sorunun Çözüm Linki: https://geomania.org/forum/index.php?topic=4657.0 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=4657.0)
Bu sorudaki konfigürasyonun aynısının çözüm linki: https://geomania.org/forum/index.php?topic=34.msg24846#msg24846 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=34.msg24846#msg24846)
-
https://youtu.be/3-ewvQoz3CI?feature=share bu bağlantıda başka bir çözümden bahsedilmiş.