Problem: Şekilde $O_1$ merkezli $|O_1A| = |O_1B|$ yarıçaplı çeyrek çember, $O_2$ merkezli $|AO_1|$ çaplı yarım çember, $O_3$ merkezli $|BC|$ çaplı yarım çember ve $O_4$ merkezli çember verilmiştir. $O_2$ ve $O_3$ merkezli çemberli çemberler birbirine teğettir. $O_4$ merkezli çember, diğer üç çembere teğettir. $O_2$ merkezli çemberin yarıçapının, $O_4$ merkezli çemberin yarıçapına oranı kaçtır?
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=9325.0;attach=16898;image)
Burada $O_1O_2O_4O_3$ dikdörtgenini inşa ederek başlamak problemi çözebiliyorum. Tersten başlayarak soruyu çözmüş oluyorum ve bunda yanlış bir şey yok. Benim merak ettiğim kısım, bu dikdörtgeni inşa etmeden, problemi verildiği şekliyle çözebilir miyiz? Fikirlerinizi belirtirseniz memnun olurum.
Dikdörtgen İnşası Yoluyla Çözüm: $|AO_2| = |O_2O_1| = R$ ve $|BO_3| = |O_3C| = r$ olsun. $|O_2O_3| = R + r$, $|O_1O_3| = |BO_1| - |BO_3| = 2R - r$ olur. $O_1O_2O_3$ dik üçgeninde $(R+r)^2 = (2R - r)^2 + R^2$ olup bu eşitlik düzenlenirse $2R = 3r$ bulunur. $R= 3a$ ve $r = 2a$ diyebiliriz. $O_1O_2O_4O_3$ dikdörtgenini inşa edersek, $|O_4E| = 4a - 3a = a$ ve $|O_4F| = 3a - 2a = a$ olur. Böylece $O_4$ merkezli ve $a$ yarıçaplı bir çember çizersek, bu çember $O_2$ ve $O_3$ merkezli çemberlere teğet olur. Ayrıca $|O_1O_4| = |O_2O_3| = 5a$ dır. $O_1O_4$ doğrusu, $O_4$ merkezli çemberi (şekildeki gibi) $D$ noktasında kessin. $|O_4D| = a$ olduğundan $|O_1D| = 5a + a = 6a$ olur. Böylece,
$$ |O_1A| = |O_1D| = |O_1B| = 6a$$
olup $O_1$ merkezli çember $D$ noktasından geçer. $O_1, O_4, D$ doğrusal olduğundan, $O_1$ ve $O_4$ merkezli çemberler teğettir.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=9325.0;attach=16900;image)