Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 30, 2008, 03:13:12 ös

Başlık: tübitak 2008 (analiz - cebir) {Çözüldü}
Gönderen: Lokman Gökçe - Ağustos 30, 2008, 03:13:12 ös

tübitak'ın 1. aşama lise mat. olimpiyatındaki 9 tane analiz - cebir alanına ait sorusundan 2 tanesini geometri kısmında çözmüştük. kalan 7 probleme burada cevap vereceğiz.kolay gelsin...

Başlık: Ynt: tübitak 2008 (analiz - cebir)
Gönderen: Lokman Gökçe - Ağustos 30, 2008, 03:16:10 ös

semih yağcı kardeşimizin çözümü (yanlışlıkla semihin msjını silmiştim, tekrar ilave edeyim  ;)):

Başlık: Ynt: tübitak 2008 (analiz - cebir)
Gönderen: senior - Ağustos 30, 2008, 06:55:35 ös

2.soru
P(x) = (1-x)(1+ x² + x⁴ + ... + x¹⁸) = (1-x)(1-x²⁰)/(1-x²) = (1-x²⁰)/(x+1)
P(x-1) = (1-(x-1)²⁰)/x ise paydaki x³'ün katsayısı yani C(20,3) = 1140 istediğimiz sonucu verir

3.soru
a_n = 1/kök(m) ise eşitliğe göre a_n+1 = 1/kök(13+m) dir. Yani pay kısmı 1 kalırken payda kısmında karekök içi 13'er artıyor. Kök içinin 2500'ü geçtiği ilk k cevap olacaktır. a_k için kök içi 9+13(k-1) = 13k - 4 olur. 13k - 4 = 2500 ise k = 192.6... yani k=193 için a_k < 1/50'dir.

4.soru
a₃ - 2a₂ + a₁ = 7
a₄ - 2a₃ + a₂ = 7
...
a₁₇ - 2a₁₆ + a₁₅ = 7 ==> a₁₇ - a₁₆ - a₂ + a₁ = 7 x (17-2)
Genel olarak a_n - a_n-1 - a₂ + a₁ = 7 x (n-2) , yani a_n = a_n-1  + 7n - 10
O zaman n = 17 için a₁₇ = 7(3 + ... + 17) - 10*(17-2) + a₂ = 905

Başlık: Ynt: tübitak 2008 (analiz - cebir)
Gönderen: senior - Ağustos 30, 2008, 11:45:44 ös

Devam edelim :)
5.soru
a'yı sorduğuna göre soru x² + y² + z² + t² = 0 gibi bir şey olmalı ki parantez içlerini 0'a eşitleyip a'yı bulabilelim. Bu yüzden -ab, -bc, -cd, -d gibi terimlerden kurtulmak lazım. Ekte bunlardan nasıl kurtulunacağını açıkladım.

Başlık: Ynt: tübitak 2008 (analiz - cebir)
Gönderen: senior - Ağustos 31, 2008, 12:07:58 öö

6.soru
x=y=1 verelim ve f(1)'i bulalım:
10(1+1)/1 = f(1)*f(1) - f(1) - 90 --> f(1)² - f(1) = 110 yani f(1) = 11
x=1, y=1/11 verelim ve f(1/11)'i bulalım:
10*(12/11)/(1/11) = f(1)*f(1/11) - f(1/11) - 90 --> 210 = f(1/11)*(f(1)-1) = f(1/11)*10 --> f(1/11) = 21

7.soru
xy = 1 ise (x+y)² ve (x-y)² parantezlerini açarsak ifade sadeleşir.
(x² + y² + 6)(x² + y²) >= A(x² + y² - 2)
x² + y²  = k olursa (k+6)k/(k-2) >= A olur ve bizim ifadenin sol tarafının minimum değerini bulmamız lazım ki A'yı o değere kadar rahatlıkla seçebilelim.
Eşitsizliğin sol tarafını biraz değiştirerek her şeyi (k-2) cinsinden yazmaya çalışalım:
(k+6)k/(k-2) = ((k-2) + 8 )((k-2) + 2)/(k-2) = (k-2) + 10 + 16/(k-2) , burda ilk ve son terimlerin çarpımları sabit o zaman toplamın en küçük olması için k-2 = kök(16) = 4 olmalı yani,
ifade 4 + 10 + 16/4 = 18
A'nın alabileceği en yüksek değer 18

Başlık: Ynt: tübitak 2008 (analiz - cebir)
Gönderen: Lokman Gökçe - Ağustos 31, 2008, 12:50:10 öö

teşekür ederiz güneş kardeşim. çok güzel oldu. hepsini çözdün, zihnine sağlık. farklı olan çözümlerimizi ilave edeceğiz inş biz de. sayılar teorisi ve kombinatorik alanlarının sorularını da yakında yollarız. biraz soluklanın hele  ;D

Başlık: Ynt: tübitak 2008 (analiz - cebir)
Gönderen: sercan - Ağustos 31, 2008, 01:00:32 öö

6. soru

NOT: resimdeki boş alanlar atılmıştır. (sercan kardeşim, paintin özelliklerini kullanarak çalışma sayfanı küçültebilirsin  ;))

Başlık: Ynt: tübitak 2008 (analiz - cebir)
Gönderen: sercan - Eylül 02, 2008, 10:29:03 ös

sağolun scarface hocam...aslında biliyordum ama soruyu gönderme heyecanından olsa aklıma gelmedi ve unutmuşum...tüm geomania ailesine hayırlı.(ramazanlar+çalışmalar)

Başlık: Ynt: tübitak 2008 (analiz - cebir)
Gönderen: Tamer - Eylül 04, 2008, 05:58:19 ös

çözen Herkese teşekkür ederim. zihnim açıldı  ;D