Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 2024 => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Temmuz 16, 2024, 05:14:15 ös
-
Aşağıdaki şartı sağlayan tüm $\alpha$ gerçel sayılarını bulunuz:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $$\lfloor \alpha \rfloor+\lfloor 2\alpha \rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor$$ tam sayısı $n$ sayısının bir katıdır. ($\lfloor z\rfloor$ ifadesi, $z$ sayısından küçük veya ona eşit olan en büyük tam sayıyı göstermektedir. Örneğin, $\lfloor -\pi \rfloor = -4$ ve $\lfloor 2 \rfloor = \lfloor 2.9 \rfloor = 2$.)
(Kolombiya)
-
$\alpha$ şartı sağlasın. $\lfloor(\alpha+2)n\rfloor= 2n+\lfloor n\alpha\rfloor$ olduğundan $\alpha+2$'de şartı sağlar. $0\leq\alpha<2$ aralığında bulunan çözümler ve $z$ tamsayı olmak üzere bu çözümlerin $2z$ fazlası çözümdür. Bu aralığa bakalım. $\alpha=0$ ise durumun sağlandığı açıktır. Bunun $2z$ fazlası da çözüm olacağından tüm çift tamsayılar bir çözümdür. $0<\alpha<1$ olsun. $x\alpha=1$ ve $n$ tamsayı olmak üzere $n<x<n+1$ olsun. Zaten $x=n\in\mathbb{Z^+}$ oldugu durumda $n|1$ olur. Çelişki. Heryeri $\alpha$ ile çarparsak $n\alpha<1<(n+1)\alpha$ olur. $\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor(n+1)\alpha\rfloor$ ifadesinde son terim hariç terimler sıfır olduğundan $\lfloor(n+1)\alpha\rfloor$ $n+1$'in katıdır. Halbuki bu ifade $n+1$'den küçüktür. Çelişki. Bu aralıkta çözüm yoktur. $\alpha=1$ olursa $n$ çift olduğunda ifade $n|\frac{n}{2}\cdot (n+1)$ olmasını gerektirir. Sağlamaz. Son olarak $1<\alpha<2$ durumuna bakalım. Bu durumun $-1<\alpha<0$ durumuna denk olduğu açıktır. Bu aralığın çözümü yöntem bakımından deminkinden farksızdır. Negatif degerler için aynı işlemlerin simetriği geçerlidir. Buradan da çözüm gelmez. Tek çözüm deminde dediğimiz gibi $\boxed {\text{çift tamsayılardır.}}$
-
$$S=\lfloor \alpha \rfloor+\lfloor 2\alpha \rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor$$
olsun. Tam değer fonksiyonuyla daha ilişik bir çözüm verelim. Benzer bir şekilde
$$\sum_{i=1}^{n}{i}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n}{\lfloor \alpha\rfloor}\equiv \sum_{i=1}^{n}{\lfloor \alpha +2\rfloor} \pmod{n}$$
olduğunu söyleyebiliriz. O zaman $\alpha\in [0,2]$ aralığını yani $0\leq \alpha\leq 2$ durumunu incelemek yeterli olacaktır. $\alpha=0$ ve $\alpha=2$ durumunda tüm $n$ için $n\mid S$'tir ve bu durum çift tam sayıların usteneni sağladığını ifade eder. $\alpha=1$ durumunda ise $n\nmid S$'tir ve istenen koşulu tek tam sayılar sağlamaz. Diğer durumları inceleyelim
$i)$ $0<\alpha<1$ : Bu durumda $n=\left\lceil \dfrac{1}{\alpha}\right\rceil$ alalım. Buna göre $n\alpha=\left\lceil \dfrac{1}{\alpha}\right\rceil.\alpha \geq \dfrac{1}{\alpha}.\alpha=1$ olduğu açıktır. Öte taraftan
$$n\alpha=\left\lceil \dfrac{1}{\alpha}\right\rceil.\alpha<\alpha\left(\dfrac{1}{\alpha}+1\right)=1+\alpha<2$$
olduğunu söyleyebiliriz. Bundan dolayı $\lceil n\alpha \rceil=1$ olacaktır. Ayrıca
$$n\alpha=\left(n-1\right)\alpha+\alpha<(n-1)\alpha+1<2\Longleftrightarrow (n-1)\alpha<1\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n-1}{\lfloor i\alpha\rfloor}=0$$
elde edilir. Buna göre $S=1$ olur ve her $n$ değeri için $n\nmid 1$ sağlanmaz. Dolayısıyla bu durum elenir.
$ii)$ $1<\alpha<2$ : Bu durum bir önceki duruma dönüştürebilir. Zira $\alpha=b+1$ olsun.
$$S=\sum_{i=1}^{n}{\lfloor i\alpha\rfloor}=\dfrac{n(n+1)}{2}+\sum_{i=1}^{n}{\lfloor ib\rfloor}$$
olduğunu söyleyebiliriz. Ayrıca $0<b<1$ olduğundan $\sum\limits_{i=1}^{n}{\lfloor b\rfloor}$ toplamı $i)$ durumundaki toplama denktir ve $n=\left\lceil \dfrac{1}{b}\right\rceil$ alındığında $\sum\limits_{i=1}^{n}{\lceil ib\rceil}=1$ elde edilir. Dolayısıyla bu durumda
$$S=\sum_{i=1}^{n}{\lfloor i\alpha\rfloor}=\dfrac{n(n+1)}{2}+\sum_{i=1}^{n}{\lfloor ib\rfloor}=\dfrac{n(n+1)}{2}+1$$
ki bu ifade her $n$ pozitif tam sayısı tarafından bölünmez ve $n\nmid S$ durumları da elde edilir.
Sonuç olarak hem $(0,2)$ aralığında $S$ toplamı her $n$ pozitif tam sayısı tarafından bölünmez. $\alpha\in[0,2]$ için sadece $\alpha=0$ ve $\alpha=2$ durumlarında, tüm çift tam sayıları kapsamak üzere toplam $n$'in bir tam katıdır.
Not: Problemin Hermite Özdeşliği ile de çözülebileceğine inanıyorum. Hermite Özdeşliği (Hermite's Identity (https://artofproblemsolving.com/community/c262118h1425511)) herhangi bir $n$ doğal sayısı ve $x$ reeli için
$$\left\lfloor nx\right\rfloor =\sum_{i=1}^{n-1}{\left\lfloor x+\dfrac{i}{n}\right\rfloor}$$
olduğunu söyler. $S$ toplamındaki tüm tam değer fonksiyonları $\lfloor \alpha\rfloor$'a indirgenip $\pmod{n}$'de götürülebilir. Sonrasında ise benzer bir durum incelemesi yapılabilir.