Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: alpercay - Temmuz 16, 2024, 04:33:20 ös
-
$x^3-y^3=xy+61$ denklemini tam sayılarda çözünüz.
Tmozda gördüğüm bir soru. Burada da bulunsun istedim.
-
Denklemi $$(x-y)[(x-y)^2+3xy]=xy+61$$ şeklinde yazalım.
$x-y=u\ne 0$ ve $xy=v$ denirse denklem $$u^3+3uv-v=61$$ şeklinde yazılabilir. $$v=\dfrac{61-u^3}{3u-1}$$ değeri sadece $u=1$ için tamsayı olacağından $v=30$ yani $$x^2-x-30=0$$ bulunur. Buradan $(x,y)=(6,5)$ veya $(x,y)=(-5,-6)$ bulunur.
-
$x=y+k$ olsun. Denklem düzenlenirse oluşan $$(3k-1)y^2+(3k^2-k)y+k^3=61$$ eşitliğinden $k\le 3$ olmalı.
$k=1$ ise
$y^2+y-30=0$ eşitliğinden $(x,y)=(6,5)$ ve $(x,y)=(-5,-6)$ bulunur.
$k=2$ ve $k=3$ için oluşan kuadratik denklemin tam sayı çözümleri oluşmaz.
-
1981 yılında Rusya Matematik Olimpiyatlarında sorulmuş bu soru.
Ayrıca Diyafont Denklemler Çalışma Soruları (https://geomania.org/forum/index.php?topic=6419) başlığında da 9. soru olarak görmekteyiz.
Çözüm 3 (*) :
Denklemin her iki tarafını $27$ ile çarpıp düzenlersek $$27x^3-27y^3-1-27xy=1646$$ elde ederiz. Sonrasında $A^3+B^3+C^3-3ABC=(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-AC-BC)$ özdeşliği yardımıyla $$(3x-3y-1)(9x^2+9y^2+1+9xy+3x-3y)=2 \cdot 823$$ eşitliğine ulaşırız. $2$ ve $823$ asal sayı oldukları için
$3x-3y-1=2$ ve $9x^2+9y^2+1+9xy+3x-3y=823$ olmalıdır. Bu iki denklemi çözdüğümüzde $(6,5)$ ve $(-5,-6)$ çözümlerini buluruz.
* Andreescu, T., Andrica, D., Cucurezeanu, I., An Introduction to Diophantine Equations
-
Sercan Yılmaz hocanın çözümü:
(Tam sayılar dünyasında)
$y=x$ olamaz.
$y>x$ ise \begin{align*} 0 &= y^3+xy-x^3+61 \\ &= (y-x)(x^2+xy+y^2)+xy+61 \\ &\ge (x+y)^2+61\end{align*} eşitsizliği sağlanır. (imkanlı değil.)
$x> y$ ise \begin{align*} 0 &= x^3-xy-y^3-61 \\ &=(x-y)(x^2+xy+y^2)-xy-61 \\ &\ge x^2+y^2-61\end{align*} eşitsizliği sağlanır.
Bu bölgedeki ikilileri incelersek $(6,5)$ ve $(-5,-6)$ çözümlerini elde ederiz.