Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Temmuz 04, 2024, 05:24:22 ös
-
$|AD|=|BC|$ olan ikizkenar bir $ABCD$ yamuğunda $|AB|<|CD|$'dir. $A$ noktasından sırasıyla $BC, CD, BD$ doğrularına inilen dikmelerin uzunluğu $15,18,10$ olsun. Buna göre $ABCD$ yamuğunun alanını bulunuz.
-
$A$ noktasından sırasıyla $CD, BD, BC$ doğrularına indirilen dikmelerin ayakları $H_1,H_2 H_3$ olsun. $B$'den $CD$'ye inen dikmenin ayağı $H_4$ olsun. Buna göre $\triangle AH_3B \sim \triangle BH_4C$ benzerliğinden herhangi $k,t\in R^{+}$ için $BH_3=5t, CH_4=DH_1=6t$ ve $AB=5k,BC=6k$, dolayısıyla $\triangle AH_3B$'de Pisagor'dan $k^2=s^2+9$ olduğu söylenebilir. Sonrasında $AH_1 \cup BD=G$ olmak üzere $k$ ve $t$ cinsinden yazılan $DH_1$ ve $AB$ uzunlukları ile $\triangle AGB\sim \triangle H_1GD\Longleftrightarrow AG={AH_1.AB}{AB+DH_1}=\dfrac{90k}{5k+6t}$ bulunabilir. Ardından $\angle GAH_2=\angle H_4BD\Longleftrightarrow \triangle BH_4D\sim \triangle AH_2G\Longleftrightarrow GH_2=\dfrac{BH_4.AH_2}{DH_4}$ ile $GH_2=\dfrac{180}{5k+6t}$ olarak elde edilir. Ardından $\triangle AH_2G$'de Pisagor'dan $\left(5k+6t\right)^2+18^2=81k^2\Longleftrightarrow 36\left(\underbrace{x^2-t^2}_{=9}\right)+20k^2=324+60kt\Longleftrightarrow k=3t$ olarak belirlenir. Bunu baştaki $k^2=t^2+9$ eşitliğine koyduğumuzda $8t^2=9\Longleftrightarrow t=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}, k=\dfrac{9}{2\sqrt{2}}$ bulunabilir. $A(ABCD)=18\left(5k+6\right)=\dfrac{18\left(45+18\right)}{2\sqrt{2}}\Longleftrightarrow A(ABCD)=\dfrac{567}{\sqrt{2}}$ olarak elde edilir. Problemin orijinal soru kökünde cevabın tam sayı elde edilebilmesi için istenen değer $A(ABCD)\sqrt{2}$ biçiminde sorulmuştu.
Not: $ABCD$ yamuğu ikizkenar olduğundan aynı zamanda da kirişler dörtgeni yani çemberseldir. Buna göre, problemde indirilen dikme ayaklarıyla oluşturulan konfigürasyon Simson Doğrusu (https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Simson_line) adlı lemmaya benzemekte. Zira Simson Doğrusu, herhangi bir üçgenin çevrel çemberinden seçilen bir $P$ noktasından üçgenin kenarlarına indirilen dikme ayaklarının doğrudaş olduğunu belirtir. Lemmanın problemle benzerliği ise $A$'nın, $BCD$ üçgeninin çevrel çemberinden bir nokta olarak alınıp üç kenara dikme indirilmesidir. Dolayısıyla, lemmadan $H_1,H_2,H_3$ noktaları doğrudaştır. Bu yaklaşımla da probleme farklı bir çözüm yapılabileceğini düşünüyorum.
-
Benzerlikten ya da alandan $AB:BC:BD$ oranlarını bulabiliriz.
Alandan bulalım:
$[ABC]=[ABD]$ olduğu için $15\cdot BC = 10 \cdot BD = 18\cdot AB$ olacaktır. Bu da $AB:BC:BD=5:6:9$ demektir.
$AB=5k$ dersek $[ABD]=45k$ olur.
Heron'dan $[ABD]=k^2\sqrt{10\cdot 1\cdot 4 \cdot 5}= 45k \Longrightarrow k=\dfrac {9}{2\sqrt 2}$
$B$ den $CD$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun.
İkizkenar yamukta $DH-CH=AB$ olduğu için Pisagordan $DB^2-CB^2=DH^2-CH^2=(DH-CH)(DH+CH)=AB\cdot CD$, yani $9k^2-6k^2=5k\cdot CD \Longrightarrow CD=9k$ elde edilir.
$[ABCD]=\dfrac 12 \cdot \dfrac{AB+CD}{BH} = 7k\cdot 18 = 7\cdot \dfrac{9}{2\sqrt 2} \cdot 18 =\dfrac{7\cdot 81}{\sqrt 2}=\dfrac{567}{\sqrt 2}$.