Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Haziran 24, 2024, 11:20:27 ös
-
$$\dfrac{4a+9b+25c}{2a+3b+5c}+\dfrac{4b+9c+25a}{2b+3c+5a}+\dfrac{4c+9a+25b}{2c+3a+5b}=10$$
eşitliğini sağlayan tüm $(a,b,c)$ negatif olmayan reel üçlülerini bulunuz.
-
Paydaki $a,b,c$ katsayılarının sırasıtla paydadakilerin karesi olduğuna dikkat edecek olursak problemin Cauchy-Schwarz uygulamaya müsait olduğunu söyleyebiliriz. Ana motivasyonumuz budur. Buna göre
$$\left(2a+3b+5c\right)^2\leq \left(4a+9b+25c\right)\left(a+b+c\right)$$
$$\Longleftrightarrow LHS=\sum_{cyc}{\dfrac{4a+9b+25c}{2a+3b+5c}}\geq \sum_{cyc}{\dfrac{2a+3b+5c}{a+b+c}}=10$$
olarak elde edilir. İfadeyi C-S eşitlik durumu sağlar ki bu ise $a,b,c=(0,0,k)$ ve permütasyonlarında sağlanır.