Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2024 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Haziran 17, 2024, 05:04:17 ös
-
$x$ sayısı pozitif bir tam sayı olmak üzere,
$x^x=2^{24} \cdot 3^x$ olduğuna göre, $\left( \dfrac{x}{4} \right) ^3$ kaçtır?
$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 27 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 81 \qquad\textbf{e)}\ 64$
-
Yanıt : $\boxed{B}$
$3^x$'i sağ tarafa alıp ifadeyi $(\frac{x}{3})^x=2^{24}=4^{12}$ olarak yazarsak $x=12$ bulunur. İfadede yerine yazarsak cevap $27$ bulunur.
-
Cevap: $\boxed{B}$
$x$ bir pozitif tamsayı olarak verildiğinden, ve $x^x$'in tüm asal bölenleri $2$ ve $3$ olduğundan $x=2^a\cdot 3^b$ olarak yazabiliriz. $$(2^a\cdot 3^b)^{x}=2^{24}\cdot 3^{x}\implies 2^{ax}=2^{24}\text{ ve }3^{bx}=3^x$$ olacaktır. Buradan $ax=24$ ve $b=1$ bulunur. $x=3\cdot 2^a$ olduğundan $a\cdot 2^a=8$'dir. Buradan da $a=2$ elde edilir. Yani $x=12$'dir. Bizden istenilen değer ise $27$ bulunur.