Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise Takım Seçme => 2024 => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Haziran 11, 2024, 10:42:35 ös
-
$a,b$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $$\frac{10^{a!}-3^b+1}{2^a}$$ ifadesinin tamkare olmasını sağlayan tüm $(a,b)$ çiftlerini bulunuz.
-
Her $a$ pozitif tamsayısı için $a!\geq a$ olduğundan $2^a\mid 10^{a!}$'dir. Dolayısıyla $2^a\mid 3^b-1$ olmalıdır. $a=1$'i denersek, ifade $\frac{11-3^b}{2}$ olacaktır. $11>3^b$ olması gerektiğinden $b=1$ veya $b=2$ bulunur. Yerine yazarsak, iki durum da ifadeyi tamkare yapacaktır. Buradan $(a,b)=(1,1),(1,2)$ çözümleri elde edilir. Şimdi $a\geq 2$ olduğunu kabul edelim. Kuvvet kaldırma teoreminden, $b$ tekse $$v_2(3^b-1)=v_2(3-1)\geq v_2(2^a)=a\implies a=1$$ bulunur. Bu da $a\geq 2$ kabuluyle çelişir.
$b$ çift ise $$v_2(3^b-1)=v_2(3-1)+v_2(3+1)+v_2(b)-1=v_2(b)+2\geq v_2(2^a)=a$$ $$\implies v_2(b)\geq a-2\implies 2^{a-2}\mid b$$ bulunur. $a\geq 4$ ise $4\mid b$ olacaktır. Yani $3^b-1\equiv 0\pmod{5}$ olacaktır. Buradan $$10^{a!}-3^b+1\equiv 0\pmod{5}$$ elde edilir. İfade tamkare olduğundan $25\mid 10^{a!}-3^b+1$ olmalıdır. $25\mid 10^{a!}$ olduğu barizdir, dolayısıyla $3^b\equiv 1\pmod{25}$ olacaktır. Bunu görmenin birkaç yolu olmasıyla beraber, $3$'ün $25$ modunda ilkel kök olduğunu söyleyebiliriz çünkü $3$, $5$ modunda ilkel köktür ve $25\nmid 3^4-1$'dir. Bu aslında bir lemmanın sonucudur,
Lemma: $g$, $p$ modunda bir ilkel kök olsun, eğer $p^2\nmid g^{p-1}-1$ ise, $g$ aynı zamanda $p$'nin tüm kuvvetlerinde de ilkel köktür. $p^2\mid g^{p-1}-1$ ise $g+p$ sayısı $p$'nin tüm kuvvetlerinde ilkel köktür.
Yani $3$'ün mertebesi $\phi(25)=20$'dir. Buradan da $20\mid b$ bulunur. Şimdi de $b=20k$ yazıp, $11$ modunu kullanırsak, Fermat teoreminden $$10^{a!}-3^b+1\equiv (-1)^{a!}+1-3^{20k}\equiv 1+1-1\equiv 1\pmod{11}$$ elde edilir. Şunu unutmayalım ki $10^{a!}-3^b+1$ ifadesi, bir sayının karesi çarpı $2^a$'dır. Yani, ya bir tamkaredir ($a$ çiftse), ya da bir tamkarenin iki katıdır ($a$ tekse). Bir tamkarenin iki katı olamaz çünkü $$2n^2\equiv 1\pmod{11}\implies (2n)^2\equiv 2\pmod{11}$$ olacaktır ancak $2$ bir karekalan değildir. Dolayısıyla $10^{a!}-3^b+1$ bir tamkaredir. Ancak bu ifade tamkare ise $$10^{a!}-3^b+1\equiv 2\pmod{3}$$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla, $a\geq 4$ durumundan çözüm gelmez.
$a=2$ ise ifade $\frac{101-3^b}{4}$ olacaktır. $b$ çift ve $101>3^b$ olduğundan $b=2$ veya $b=4$ olabilir ancak bu durumlardan çözüm gelmez.
$a=3$ ise ifade $\frac{10^6+1-3^b}{8}$ olacaktır. Belki bazı modlarda inceleme yapılarak işlem yükü azaltılabilir fakat $b$'nin çift olması kullanılırsa, $b=2m$ için $10^6+1>9^m$ elde edilir. Buradan $6\geq m$ sonucu bulunur çünkü $9^7$ sayısı $7$ basamaklıdır. Eğer $m=1,2,\dots,6$ için incelenirse, buradan da çözüm gelmediği görülür. Tüm çözümler, $(a,b)=(1,1),(1,2)$'dir.