Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2024 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 21, 2024, 08:53:30 ös
-
Bir $ABC$ üçgeninde sırasıyla $[BC], [CA], [AB]$ kenarları üzerinde alınan $D,E,F$ noktaları için $s(\widehat{ABC})=s(\widehat{ADE})$ ve $s(\widehat{ADF})=s(\widehat{ACB})$ eşitlikleri sağlanmaktadır. $|AD|=3, |BD|=4, |CD|=6$ ise $|EF|$ kaçtır?
$\textbf{a)}\ \dfrac{30}{11} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{40}{11} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{20}{7} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{25}{7} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
-
Yanıt $\boxed{A}$
$\widehat {ABD}=\widehat {ADE}=\alpha$ , $\widehat {ADF}=\widehat {ACD}=\theta$ ve $\widehat {FAD}=\beta$ olsun.
$\triangle ABD$ üçgeninin $D$ dış açısı yani $\widehat {ADC}=\alpha+\beta$ olacağından $\widehat {EDC}=\beta$ olup $\triangle ADF$ ve $\triangle DCE$ üçgenleri benzerdir ve benzerlik oranları $3/6=1/2$ dir. O zaman $|AF|=x$ denirse $|DE|=2x$ olur.
$\triangle AFD$ üçgeninde $F$ dış açısı ve $\triangle DEC$ üçgeninde $E$ dış açısı $\beta+\theta$ olduğundan $\triangle AED$ ve $\triangle DFB$ üçgenleri benzerdir ve benzerlik oranları $3/4$ tür. Dolayısıyla $|FD|=k$ dersek $|AE|=3k/4$ ve $|BF|=8x/3$ olmalıdır.
Buna göre $AF/FB=AE/EC=3/8$ ve $\widehat {BAC}$ açıları ortak olduğundan $\triangle AFE$ ve $\triangle ABC$ üçgenleri de benzer olmalıdır. Benzerlik oranları yazılırsa $$|AF|/|AB|=|AE|/|AC|=|EF|/|BC|$$ $$3/11=|EF|/10$$ eşitliğinden $|EF|=30/11$ bulunur.
-
$\widehat {EDF} = \widehat {ADE}+\widehat {ADF}=\widehat {ABC}+\widehat{ACB}=180^\circ - \widehat{BAC}$ olduğu için $AEDF$ kirişler dörtgenidir.
$\widehat{AFE}=\widehat{ADE}=\widehat {ABC}$ olduğu için $\triangle AFE \sim \triangle ABC$.
$FE$ ile $AD$, $G$ de kesişsin. $|AG|=3x$ dersek, benzerlikten $|FG|=4x$ ve $|GE|=6x$ olur.
$G$ noktasının $AEDF$ kirişler dörtgeninin çemberine göre kuvvetinden $|FG|\cdot |GE|=|AG|\cdot |GD| \Longrightarrow |GD|=8x$.
$|AD|=11x=3$ ve $|FE|=10x=10\cdot \dfrac 3{11}=\dfrac{30}{11}$.