Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2024 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 21, 2024, 08:04:28 ös
-
Bir $ABCD$ paralelkenarında $\widehat A$ açısının iç açıortayı ile $\widehat B$ açısının iç açıortayı paralelkenarın içinde bir $E$ noktasında kesişmektedir. $BE$ ve $CD$ doğrularının kesişimi $[CD]$ kenarı üzerinde bir $F$ noktasıdır. $|AE|=15$, $|AB|=25$, $|BF|=24$ olduğuna göre $|BC|$ uzunluğu kaçtır?
$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 15 \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 17 \qquad\textbf{e)}\ 18$
-
Yanıt: $\boxed {B}$
$\widehat A+\widehat B=180^{\circ}$ ve $\dfrac{\widehat A+\widehat B}{2}=90^{\circ}$ olduğundan $\widehat {AEB} =90^{\circ}$ ve Pisagor teoreminden $|BE|=20$ bulunur.
$BF$ ve $AD$ ışınlarını bir $G$ noktasında kesişecek biçimde uzatırsak $\triangle ABG$ üçgeni ikizkenar ve $|AG|=25$ ve $|EG|=20$ olacağından $|FG|=16$ bulunur.
$\triangle BCF$ ve $\triangle GFD$ üçgenleri benzer ve benzerlik oranları $\dfrac{3}{2}$ olduğundan $|FC|=3k$ , $|FD|=2k$ , $|BC|=|AD|=3x$, $|DG|=2x$ diyebiliriz.
Bu durumda $|AG|=|AD|+|DG|=5x=25$ olacağından $|BC|=3x=15$ bulunur.
-
$\widehat A+\widehat B=180^{\circ}$ ve $\dfrac{\widehat A+\widehat B}{2}=90^{\circ}$ olduğundan $\widehat {AEB} =90^{\circ}$ ve Pisagor teoreminden $|BE|=20$ bulunur.
$BF$ ve $AD$ ışınlarını bir $G$ noktasında kesişecek biçimde uzatırsak $\triangle ABG$ üçgeni ikizkenar ve $|AG|=25$ ve $|EG|=20$ olacağından $|FG|=16$ .
$DF\parallel AB$ olduğu için $\dfrac{|BF|}{|BG|}=\dfrac{|AD|}{|AG|} \Longrightarrow \dfrac{24}{40}=\dfrac{|AD|}{25} \Longrightarrow |AD| = 15$
Bu durumda $|BC|=|AD|=15$ olur.