Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2024 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 21, 2024, 02:06:33 ös
-
Her biri $7$ farklı renkten birine boyalı olan $n$ top $32$ kutuya dağıtılmıştır. Bu kutulardan herhangi $10$ tanesinin birleşiminde bu $7$ rengin her biri için o renge boyalı en az bir top varsa $n$ en az kaç olabilir?
$\textbf{a)}\ 157 \qquad\textbf{b)}\ 161 \qquad\textbf{c)}\ 176 \qquad\textbf{d)}\ 184 \qquad\textbf{e)}\ 192$
-
Yanıt: $\boxed{B}$
Önce $9$ kutuyu boş bırakalım ve geri kalan $23$ kutuya $7$ şer top koyalım. Kutulardaki toplar farklı renklerde olsun. Böyle bir senaryoda, $9$ boş kutunun yanına $23$ kutudan hangisi eklenirse eklensin istenen koşul sağlanmış olur. Böylece $n=23\cdot 7 = 161$ topun yeterli olduğu bir örnek bulmuş oluruz.
Şimdi $n\leq 160$ iken, istenen koşulun sağlanamayacağı bir $10$-lu kutunun var olduğunu ispatlayalım. Bu $7$ renk arasında en az sayıda kullanılanı $m$ defa kullanılmış olsun. $m$ en çok $\left\lfloor \dfrac{160}{7} \right\rfloor = 22$ olabilir. Gerçekten, her bir renkten en az $23$ defa kullanılmış olsaydı $n\geq 23\cdot 7 = 161$ olurdu. Bu ise $n\leq 160$ kabulü ile çelişir. Şimdi de bu en az kullanılan rengi kutulara dağıtalım. En fazla $22$ kutuda bu renk görülebilir. Geriye kalan $10$ kutudaki toplarda bu renk bulunmayacaktır. Dolayısıyla bu $10$ kutu, istenen şartı sağlamayan bir seçimdir. Yani $n\leq 160$ olamaz.
Not: Bazen sonlu matematik problemlerinin çözümlerini video olarak dinlemek daha iyi olabilir. Video çözüm için YouTube (https://www.youtube.com/watch?v=SKOAgJ3XjTk&lc=UgyyifSXHZN6DJvNky14AaABAg.A3mxIyr8ApKA3pXJMA7wV5&ab_channel=LGMath) bağlantısını inceleyebilirsiniz.