Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2024 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 21, 2024, 12:07:25 ös
-
İlk hamleyi Aslı yapmak üzere, Aslı ve Zehra sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Hamleler yapılmadan önce Zehra $1,2,...,200$ sayılarıyla numaralanmış bilyeleri istediği bir sırayla bir doğru üzerine diziyor. Sırası gelen oyuncu bu bilye dizisinin en solunda ve en sağında bulunan iki bilyeden birini alıyor. Zehra, yüzüncü bilyesini aldığında elindeki en büyük ve en küçük numaralı bilyelerin numaraları farkının en fazla $N$ olmasını garantileyebiliyorsa $N$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
$\textbf{a)}\ 99 \qquad\textbf{b)}\ 112 \qquad\textbf{c)}\ 125 \qquad\textbf{d)}\ 149 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
-
Soruda ne sorulduğu ile ilgili sürekli kafam karışıyor.
Sanki bu tip sorular birkaç anlama geliyor.
Sorun benim anlayışımda mı, soruyu hazırlayanlarda mı, Türkçe'nin kendisinde mi, bilemiyorum.
Daha önce bu tarz soruları AoPS sitesine birebir çevirerek koyduğumda doğru düzgün cevap gelmediğini gördüm.
Yabancı yarışmalarda sanki bu tarz soruların min max tanımlarını daha formal matematiksel gösterimle yapıyorlar.
-
Cevap: $\boxed{A}$
Sınavda soruyla uğraşırken benim de kafam karıştı. Son iki cümlede en fazla farkın $N$ olmasını garantileyen en küçük $N$'i sorarken aslında en iyi tavan değer soruluyor.
Ayrıca bu bilyelerin bir doğru üzerinde dizilip en sol ya da en sağdan birisini alması da ne problemin kendisine ne de sonuca etki ediyor kanımca. Sadece rastgele olduğu bizim için önemli.
Bu bakıma problem aslında şuna dönuşüyor:
$1$'den $200$'e kadar olan tamsayılar içerisinden rastgele seçilen 100 sayının arasında en küçük ve en büyük sayıların farklarının en iyi maksimum değeri nedir?
Bu problemde ise en küçük ve en büyük sayılar arasındaki farkın tavan değerini bulabilmemiz aslında seçilen sayıları bir başa yani $1$ kısmına, bir de $200$ kısmina yani sona yığmaktan geçiyor. Bu test taktiği uygulandıktan sonra ise ise cevap $200-100-1=99$ oluyor.
$99$'dan büyük olamayacağı ise aşikardır zira başta 200 boş koltuk olan bir yerde seçilen sayıları dolu koltuklar olarak düşündüğünüzde, boş koltuk sayısı $100$ oluyor ve $N$'in en küçük garantilenen değeri $99$ olarak elde ediliyor. Açıkçası sınav anında doğru yanıtı bulmama rağmen bu problemin tam olarak hangi becerimizi ölçtüğü beni düşündürdü.
-
...
Bu bakıma problem aslında şuna dönüşüyor:
$1$'den $200$'e kadar olan tamsayılar içerisinden rastgele seçilen 100 sayının arasında en küçük ve en büyük sayıların farklarının en iyi maksimum değeri nedir?
...
Burada ilk dizilişin ne olduğuna Zehra karar verdiği için, problem, $1$ den $200$ e kadar olan tam sayılardan rastgele $100$ tanesini seçmeye eşdeğer değildir, diye düşünüyorum. 'En iyi maksimum' tabiri de belirsiz bir ifade.
Bazı değerlendirmelerimi burada not edeyim. Problemin anlaşılmasında ve çözüm yolunda katkısı olabilir.
Zehra, seçtiği sayılar arasındaki en büyük ve en küçük olanının farkını, en büyük yapmaya çalışıyor. Bunun için $200$ ve $1$'i seçmeye çalışır. Bu senaryoda, $N=200-1=199$ en büyük değer olur. Aslı ise, bu $N$ farkını olabildiğince küçük tutmak için Zehra'ya güçlük çıkaracaktır. Örneğin Aslı, Zehra'yı $100$ ardışık tam sayı seçmeye zorlarsa $N=100-1=99$ olacaktır. Böylece, $N$ nin $99$ ile $199$ aralığındaki değerleri alabileceğini anlıyoruz.
Yanıt $(A)$ verilmiştir ama çözümümüzü, cevaba benzetmeye çalışmadan soruyu anlamaya çalışalım. Sonrasında, 'yanıt neden $(A)$ verilmiş olabilir?', 'soru ne demek istemiş olabilir?' diye düşünmek de yararlı olacaktır.
Zehra, başlangıç dizilişini kendisi belirleyebiliyordu. Örneğin Zehra'nın sunduğu $1, 2, 3, \dots, 198, 199, 200$ dizilişine bakalım.
İlk hamlede Aslı $1$'i seçerse Zehra $200$'ü seçer. Aslı $200$'ü seçerse Zehra $1$'i seçer. Aslı $1$'i seçsin ve Zehra $200$'ü seçmiş olsun.
İkinci hamlede Aslı $199$'u seçerse Zehra $2$'yi seçer. Aslı $2$'yi seçerse Zehra $3$'ü seçer. Sırasıyla $N=200-2=198$ veya $N=200-3=197$ olabilmektedir. Bu örnek dizilişte ve seçim stratejisinde Zehra'nın $N=197$ yi garantileyebildiğini anlıyoruz. Gördüğünüz gibi $N=197$ olurken Aslı'nın yapabileceği bir şey yok.
Başlangıç dizilişini Aslı veriyor olsaydı, Zehra açısından daha zorlu bir diziliş verebilirdi. Yani, Zehra ne yaparsa yapsın $N$ farkını $99$ dan fazla yapamadığı bir düzenleme olabilirdi. Problemde ilk dizilişi Zehra'nın yaptığı açıkça belirtilmiş. Belki, problemde anlatılmak istenen şey, Zehra'nın yapacağı tüm düzenlemeler arasında $N$ nin alabileceği değerlerin en küçüğünün belirlenmesidir. Bu durum aslında, Zehra açısından en zorlu dizilişi de içeriyor. Bu da, yine ilk dizilişi Aslı'ya vermeye eşdeğerdir. $N=99$'u üretecek bir örnek diziliş bulmamız gerekiyor. Örnek bir diziliş $1, 200, 2, 199, 3, 198, \dots, 99, 102, 100, 101$ olur. (Bunun neden uygun örnek olduğunu biraz daha analiz etmem gerekebilir.) Bu durumda,
Yanıt: $\boxed{A}$
-
Yanıt: $\boxed A$
Cevap: $99$. Zehra bilyeleri soldan sağa doğru numaraları $1$, $101$, $2$, $102$, $3$, $103$, $\ldots$, $98$, $198$, $99$, $199$, $100$, $200$ olacak şekilde diziyor ve Aslı'nın her hamlesinden sonra onun en son bilye aldığı uçtan bilye alıyor. O zaman Zehra sol taraftan $101,102, \ldots$ numaralı $k$ ve sağ taraftan $100, 99, \ldots$ numaralı $100-k$ bilye alacaktır. Buna göre, Zehra aldığı $100$ bilyenin tamamının ardışık numaralı bilye olmasını garantileyecektir.
Kaynak: Tübitak 32. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Çözüm Kitapçığı