Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2024 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 21, 2024, 11:05:14 öö
-
$k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $k$'nin pozitif tam bölenlerinin sayısını $d(k)$ ile gösterelim. $d(n^3)=2 \cdot d(n^2)$ ve $1 \leq n \leq 2024$ koşullarını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?
$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 11$
-
Cevap: $\boxed{E}$
$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11>2024$ olduğundan $n$ sayısının en fazla $4$ asal böleni olabilir. Dolayısıyla $i=1,2,3,4$ için $p_i$'ler farklı asal ve $a_i\geq 0$ tamsayılar olmak üzere $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}p_4^{a_4}$ olarak yazabiliriz. Bazı $a_i$'lerin $0$ olması bize $3$ veya daha az sayıda asal bölen olma durumlarını verir. Ayrıca, $a_i=0$ durumu $d$ fonksiyonunun formülüne de etki etmez. $$\frac{d(n^3)}{d(n^2)}=2\implies \prod_{i=1}^{4}\frac{3a_i+1}{2a_i+1}=\prod_{i=1}^{4}\left(1+\frac{a_i}{2a_i+1}\right)=2$$ Eğer $3$ veya $4$ asal bölen olsaydı, bu asal bölenlere karşılık gelen $a_i\geq 1$ olacaktır ve $$1+\frac{a}{2a+1}\geq 1+\frac{a}{3a}=\frac{4}{3}\implies \prod_{i=1}^{4}\left(1+\frac{a_i}{2a_i+1}\right)\geq \frac{64}{27}>2$$ elde edilirdi ki bu da bir çelişkidir. Dolayısıyla $n$'nin $1$ veya $2$ asal böleni vardır.
$n=p^a$ formatındaysa $3a+1=2(2a+1)$ olması gerekir fakat buradan çözüm gelmez. Sonuç olarak $n$'nin iki tane asal böleni vardır.
$n=p^aq^b$ için $$(3a+1)(3b+1)=2(2a+1)(2b+1)\implies ab-a-b=1\implies (a-1)(b-1)=2$$ elde edilir. $(a,b)=(3,2)$ veya permütasyonu bu eşitliğin pozitif tamsayılardaki tek çözümüdür. Dolayısıyla $n=p^3q^2$ formatındadır.
$p=2$ ise $8q^2\leq 2024$'den $q\leq 13$ bulunur. Yani $q=3,5,7,11,13$ olabilir ve buradan $5$ tane $n$ sayısı elde edilir.
$p=3$ ise $27q^2\leq 2024$'den $q\leq 7$ bulunur. Buradan $q=2,5,7$ elde edilir, $3$ tane $n$ sayısı bulunur.
$p=5$ ise $125q^2\leq 2024$'den $q\leq 3$ bulunur. $q=2,3$ olabilir. $2$ tane $n$ sayısı bulunur.
$p=7$ ise $343q^2\leq 2024$'den $q=2$ bulunur. $1$ tane çözüm vardır.
$p=11$ ise $1331q^2\leq 2024$ bulunur fakat çözüm gelmez. Benzer şekilde $p\geq 13$ için de çözüm gelmez. Toplamda $5+3+2+1=11$ tane $n$ sayısı vardır.