Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2024 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 21, 2024, 10:56:13 öö
-
$x$ ve $y$ pozitif gerçel sayıları $x^2+xy=1$ şartını sağlıyorsa, $61x+25y$ en az kaç olabilir?
$\textbf{a)}\ 40 \qquad\textbf{b)}\ 50 \qquad\textbf{c)}\ 60 \qquad\textbf{d)}\ 70 \qquad\textbf{e)}\ 80$
-
1.eşitlikten: y=1/x - x olur. Bunu 2.eşitlikte yazalım: 61x + 25y = 61x + 25(1/x - x)=36x + 25/x olup AGO eşitsizliği uygulanırsa; 36x + 25/x >=2kök36.25 = 60 olup istenen ifadenin en küçük değeri 60 olur. (Eşitlik durumu: x = 5/6 ve y = 11/30 için).
-
$x^2+xy=1$ ifadesini $x$ parantezine alıp her iki tarafı $x$'e bölersek $x+y = \frac{1}{x}$ olur. $61x+25y$ ifadesini $25(x+y) + 36x$ olarak yazarsak $\frac{25}{x}+36x$ $\Rightarrow$ $AGO$'dan $36x+\frac{25}{x}\geq2\sqrt{36}\cdot25=60$ olup istenen ifadenin en küçük değeri 60 olur. (Eşitlik durumu: $x=\frac{5}{6}$ ve $y=\frac{11}{30}$ için sağlanır.)
-
Bu soru için biraz gereksiz ileri seviye çözüm olacak ama ilgilenenler için eklemek istedim.
Bizden $f(x,y)=61x+25y$'nin en küçük değeri, $g(x,y)=x^2+xy-1=0$ sınırlayıcı şartı altında isteniyor. Lagrange çarpanı metodundan, aradığımız $x,y$ değerlerini bulalım. $$\begin{cases} f_x=\lambda g_x\\ f_y=\lambda g_y\end{cases}\implies \begin{cases} 61=\lambda (2x+y)\\ 25=\lambda x\end{cases}.$$ İkinci eşitliğin iki katını ilkinden çıkartırsak, $11=\lambda y$ bulunur. Yani $x=\frac{25}{\lambda}$ ve $y=\frac{11}{\lambda}$ elde edilir. $$x(x+y)=1\implies \frac{25\cdot 36}{\lambda^2}=1\implies \lambda=30.$$ Dolayısıyla, $$\min(61x+25y)=\frac{61\cdot 25}{30}+\frac{25 \cdot 11}{30}=60$$ bulunur.
Not: Bu yöntem biraz test mantığına kaçan bir yöntemdir çünkü bazı ara adımlar atlanmıştır. Örneğin bulduğumuz eşitlik durumunun en büyük değil de en küçük olduğunu nerden biliyoruz gibi detayları incelemedik. Ayrıca bu yöntem, her soru için çok temiz ifadeler çıkarmayabilir. Yine de türev incelemesi vs. gibi analiz yöntemlerine aşina öğrenciler test sınavlarında kullanabilirler.
-
(Resmi çözüm) $(61x+25y)^2=(11x-25y)^2+3600x(x+y)=(11x-25y)^2+60^2$ olarak yazılabilir , buradan $61x+25y\ge 60$ olur. $x=5/6$ ve $y=11/30$ için eşitlik sağlanır.