Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2024 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 21, 2024, 10:45:48 öö
-
$3^{p^3}+5^{p^5}+7^{p^7}+11^{p^{11}}$ toplamının $p$ ile tam bölünmesini sağlayan kaç $p$ asal sayısı vardır?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$
-
Yanıt : $\boxed{B}$
Bir $a$ pozitif tamsayısı ve $p$ asalı için fermat teoreminden $a^p \equiv a \pmod{p}$ olduğundan $a^{p^2}\equiv a^p \equiv a$ elde edilir. Aynı işlemi yeniden uygularsak $a^{p^3}\equiv a^{p^2}\equiv a \pmod{p}$ elde edilir. Bu şekilde herhangi bir $n$ pozitif tamsayısı için $a^{p^n} \equiv a \pmod{p}$ elde edilir. Bu yüzden sorunun bize verdiği ifade $3^{p^3}+5^{p^5}+7^{p^7}+11^{p^{11}}\equiv 3+5+7+11 \equiv 26 \pmod{p}$ gelir. Buradan $p$'nin $2$ veya $13$ olabileceği anlaşılır. Yani $p$ nin alabileceği $2$ değer vardır.