$n^5+n^4+1=(n^2+an+b)\cdot (n^3+cn+e)$ şeklinde düşününce $$n^5+n^4+1=(n^2+n+1)\cdot (n^3-n+1)$$
Buradan çözümü devam ettirirsek, $n^2+n+1$ ve $n^3-n+1$ ifadeleri $p$'nin bir kuvveti olmalıdır. İkisinin ebob'unu hesaplayalım, $$n^3-n+1=(n-1)(n^2+n+1)+(2-n)$$ $$n^2+n+1=-(n+3)(2-n)+7$$ olduğundan $$(n^3-n+1,n^2+n+1)=1\text{ veya }7$$ olacaktır. Eğer ebob'ları $1$ ise, iki ifade de $p$'nin kuvveti olduğundan biri $1$ olmalıdır. $7$ durumunda ise benzer şekilde bir tanesi $7$ olmalıdır (terimlerin pozitif olması gerektiği barizdir).
$n$ pozitif olduğundan $n^2+n+1=1$'in çözümü yoktur. $n^2+n+1=7$'den ise $$n^2+n-6=(n-2)(n+3)=0\implies n=2$$ elde edilir. İfadede yerine yazılırsa $p=7$ ve $k=2$ bulunur.
$n^3-n+1=1$ ise $n=1$ elde edilir. Yerine yazarsak, $p=3$ ve $k=1$ bulunur. Eğer $n^3-n+1=7$ ise $$n^3-n-6=(n-2)(n^2+2n+3)=0\implies n=2$$ elde edilir. Bu durumu incelemiştik.
Dolayısıyla tüm çözümler $(n,k,p)=(2,2,7),(1,1,3)$'dür.
Ayrıca 2007'de gönderdiğimiz Çarpanlara Ayırma (https://geomania.org/forum/index.php?topic=103.msg333#msg333) başlıklı konuda $x^{3a} + x^{3b+1} + x^{3c+2}$ polinomunun $x^2+x+1$ çarpanına sahip olduğunu ifade ve ispat etmiştik.
$a=b=0$ ve $c=1$ için $n^5 + n + 1$ polinomu $n^2 + n + 1$ çarpanına sahiptir. Bu bilgi de, yukarıdaki sorunun çözümünde yardımcı olacaktır.
Teşekkürler Lokman Hocam. Şu şekilde de çarpanlarına ayrılabiliyor:
$n^5+n^4+1=n^5+n^4+1+n^3-n^3=n^5+n^4+n^3-(n^3-1)=(n^2+n+1)\cdot(n^3-n+1)$ veya $$(n-1)\cdot (n^5+n^4+1)=n^6-1-n(n^3-1)=(n^3-1)(n^3+1)-n(n^3-1)=(n-1)(n^2+n+1)(n^3-n+1)$$ $$n^5+n^4+1=(n^2+n+1)(n^3-n+1)$$