Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama => 2022 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 14, 2024, 09:56:50 ös
-
$a_k=\dfrac{k}{81}$ olmak üzere,
$$S=\dfrac{a_1^2}{1+2a_1(a_1-1)} + \dfrac{a_2^2}{1+2a_2(a_2-1)} + \cdots + \dfrac{a_{80}^2}{1+2a_{80}(a_{80}-1)}$$
toplamını bulunuz.
$\textbf{a)}\ 40 \qquad\textbf{b)}\ 20 \qquad\textbf{c)}\ 60 \qquad\textbf{d)}\ 30 \qquad\textbf{e)}\ 80$
-
Cevap: $\boxed{A}$
$a_k=\dfrac{k}{2p+1}$ olmak üzere
$$S=\sum_{i=1}^{2p}{\dfrac{a_i^2}{1+2a_i\left(a_i-1\right)}}=p$$
olduğunu gösterelim. Öncelikle paydadaki $a_i\left(a_i-1\right)$ kısmında $1\leq t\leq 2p$ için $a_t$ ve $a_{2p+1-t}$ verildiğinde aynı ifade elde edildiğine dikkat edelim. Bu aslında ifadeyi bize ikili gruplara ayırabileceğimizi gösteriyor. Nitekim bu tür sorularda genellikle ya teleskobik toplam, ikili gruplama veya cebirsel manipülasyonlar bulunur. İfadeyi ikili grupladığımızda ve $a_i=1-a_{2p+1-j}$ olduğunu göz önünde bulundurduğumuzda
$$S=\sum_{j=1}^{p}{\left(\dfrac{a_j^2}{1+2a_j\left(a_j-1\right)}+\dfrac{a_{2p+1-j}^2}{1+2a_{2p+1-j}\left(a_{2p+1-j}-1\right)}\right)}=\sum_{j=1}^{p}{\dfrac{a_j^2+a_{2p+1-j}^2}{1-2a_ja_{2p+1-j}}}$$
$$=\sum_{j=1}^{p}{\dfrac{\left(a_j+a_{2p+1-j}\right)^2-2a_ja_{2p+j-1}}{1-2a_ja_{2p+1-j}}}=\sum_{j=1}^{p}{1}=p$$
olarak elde edilir. Son bölümde $a_i+a_{2p+1-i}=1$ olduğunu kullandık. Probleme özel olarak
$$p=40$$
alındığında ifadenin değeri $\boxed{40}$ olarak elde edilir