Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama => 2021 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 14, 2024, 12:29:36 öö

Başlık: 2021 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 14
Gönderen: matematikolimpiyati - Mayıs 14, 2024, 12:29:36 öö

$x,y,z >0$ ve $x^3+y^3+z^3=3$ olmak üzere,
$$S=18xyz+17x^3+6y^3$$
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Başlık: Ynt: 2021 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 14
Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Şubat 10, 2025, 09:23:59 ös

AGO Eşitsizliği ile $18xyz\leq x^3+12y^3+18z^3$  olduğundan
$$S=18xyz+17x^3+6y^3\leq 18(x^3+y^3+z^3)=54$$
elde edilir.

Başlık: Ynt: 2021 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 14
Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Nisan 03, 2025, 03:52:22 ös

Benzer bir soru için bkz: ABC Matematik Olimpiyatı 2024/6 (https://www.abcmatematik.com/_files/ugd/be9dd7_c0e340d7506f41dfad7b4a9ad44192a8.pdf).

Problem:
$x^4+y^4+z^4=5$  eşitliğini sağlayan $x,y,z$  pozitif reel sayıları için $3x^4+8xyz^2$  ifadesinin maksimum değeri kaçtır?

Aritmetik-Geometrik Ortalama eşitsizliğiyle $8xyz^2\leq x^4+4y^4+4z^4$  olduğundan
$$3x^4+8xyz^2\leq 4(x^4+y^4+z^4)=20$$
elde edilir.

Not: Bu iki soruda da Aritmetik-Geometrik Ortalama eşitsizliği kullanılacağı açık olmakla beraber, eşitsizliğin sağı belirgin olmayabilir. Dolayısıyla örneğin Antalya sorusunda $S=18xyz+17x^3+6y^3\leq k(x^3+y^3+z^3)$  gibi bir $k>17$  değeri atanıp $k$  bulunabilir.