Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama => 2022 => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Mayıs 12, 2024, 10:51:01 öö
-
$m$ ve $n$ sıfırdan farklı sayılar olmak üzere, $x^3-x^2-mx-n=0$ denkleminin kökleri $a,b,c$ ise, kökleri
$$\dfrac{a+b-1}{c^2}, \dfrac{b+c-1}{a^2},\dfrac{c+a-1}{b^2}$$
olan denklem aşağıdakilerden hangisidir ?
$$\textbf{a)}\ mx^3+nx^2-x+1=0 \qquad \qquad \qquad\textbf{b)}\ nx^3+mx^2-x+1=0 \qquad \qquad\qquad\textbf{c)}\ mx^3-nx^2+x-1=0 \qquad \qquad \qquad$$
$$\textbf{d)}\ x^3-x^2 +nx-m=0\qquad\qquad\qquad\textbf{e)}\ nx^3-mx^2+x+1=0$$
-
Cevap: $\boxed{E}$
$x^3-x^2-mx-n=0$ denkleminin kökleri $a,b,c$ için kök ve denklemin katsayıları ilişkisinden
$$a+b+c=1,\quad ab+bc+ca=-m, \quad abc=n$$
olduğunu söyleyebiliriz. Ayrıca bizden inşa edilmesi istenen denklemin köklerini de $a+b+c=1$ ile
$$\dfrac{a+b-1}{c^2}=\dfrac{-c}{c^2}=-\dfrac{1}{c}, \quad \dfrac{b+c-1}{a^2}=\dfrac{-a}{a^2}=-\dfrac{1}{a}, \quad \dfrac{c+a-1}{b^2}=\dfrac{-b}{b^2}=-\dfrac{1}{b}$$
olduklarını söyleyebiliriz. O zaman $E_1,E_2,E_3$ sırasıyla bu köklerin toplamı, ikili çarpımlarının toplamı ve çarpımı (veya Newton'un kullandığı simetrik polinom $E_k$ sembolü) olmak üzere
$$E_1=\dfrac{a+b-1}{c^2}+\dfrac{b+c-1}{a^2}+\dfrac{c+a-1}{b^2}=-\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\right)=-\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{m}{n}$$
olduğunu baştaki denklemden elde ettiğimiz $ab+bc+ca=-m$ ve $abc=n$ ifadeleri yardımıyla söyleyebiliriz. $E_2$ için ise
$$E_2=\dfrac{\left(a+b-1\right)\left(b+c-1\right)}{c^2a^2}+\dfrac{\left(b+c-1\right)\left(c+a-1\right)}{a^2b^2}+\dfrac{\left(c+a-1\right)\left(a+b-1\right)}{b^2c^2}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}$$
$$=\dfrac{a+b+c}{abc}=\dfrac{1}{n}$$
olduğunu $a+b+c=1$ ve $abc=n$ yardımıyla söyleyebiliriz. $E_3$ ise basit bir şekilde
$$E_3=-\dfrac{1}{abc}=-\dfrac{1}{n}$$
olarak bulunur. Buna göre kurulacak denklemimizin katsayıları sırasıyla $a_1,a_2,a_3,a_4$ olmak üzere
$$\dfrac{-a_2}{a_1}=\dfrac{m}{n},\quad \dfrac{a_3}{a_1}=\dfrac{1}{n}, \quad \dfrac{-a_4}{a_1}=\dfrac{-1}{n}$$
olmalı. Şıklar incelendiğinde ise bu katsayı ilişkilerine uygun doğru cevap $\boxed{E}$ olarak elde edilir.