Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama => 2021 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 12, 2024, 01:23:51 öö
-
Pozitif bir $k$ tam sayısı için $|x^2+4x-11|=k$ denkleminin, tam olarak üç ayrı $x_1$, $x_2$ ve $x_3$ çözümü varsa $k$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 9$
-
Yanıt: $6$
$k>0$ için $x^2+4x-11-k=0$ veya $x^2+4x-11+k=0$ olur. Varsayalım ki bu iki denklemin ortak çözümü $m$ olsun. Bu durumda
$m^2+4m-11-k=0$ ve $m^2+4m-11+k=0$ olur. Yani $-11-k=-11+k$ Buradan $k=0$ gelir ki bu durumda bu iki denklemin ortak kökü bulunamaz. ($k>0$ almıştık)
$3$ çözüm oluşması için bu ifadelerden birinin diskriminantı pozitif diğerinin de pozitif olması gereklidir. $1.$ denkleminin diskriminantını $0$ yapmanın $k>0$ için olmadığı rahatça görülebilir. ($-11-k=4$ ise $k=-15$ ) Dolayısıyla $2.$ denklemden gelen $-11+k=4$ yani $k=15$ sağlanmalıdır. Buradan denklemler $x^2+4x-26=0$ , $(x+2)^2=x^2+4x+4=0$ olduğundan rakamlar toplamı $1+5=6$ olur.