Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Balkan Matematik Olimpiyatı => 2024 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 08, 2024, 10:56:30 öö
-
$AC>AB$ olan bir $ABC$ dar açılı üçgeninde $A$ köşesinin iç açıortayının $BC$ kenarını kestiği nokta $D$ olsun. $AB$ ve $AC$ doğrularının $BC$ doğrusuna göre simetrikleri $AC$ ve $AB$ doğrularını sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $D$ noktasından geçen bir doğru $AC$ ve $AB$ doğrularını sırasıyla $G$ ve $H$ noktalarında kesiyor öyle ki $G$ noktası $A$ ve $C$ noktaları arasında olup $A$ ve $C$ den farklıdır ve $H$ noktası $B$ ve $F$ noktaları arasında olup $B$ ve $F$ den farklıdır. $\triangle EDG$ ve $\triangle FDH$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin birbirine teğet olduğunu gösteriniz.
-
$BE\cap CF=X$ diyelim. $D$ noktası $FBX$ ve $ABE$ üçgenlerinin dış merkezi, $EXC$ ve $AFC$ üçgenlerinin ise iç merkezidir. Öte yandan $\angle BDX=90^{\circ}-\angle BFD=180^{\circ}-\angle XDC=90^{\circ}-\angle AED$ olduğundan $\angle DEG=\angle DFH$ olur, ki bu $ADEFX$ beşgeninin çembersel olmasıdır. $l$ doğrusu $(EDG)$ çemberine $D$ noktasında teğet olsun ve bu doğru üzerinde $P-D-Q$ noktaları sırasıyla alınsın. $\angle DFH=\angle DEG=\angle GDQ=\angle PDH$ olduğundan $l$ doğrusu $(FDH)$ çemberine de teğettir. Dolayısıyla $(EDG)$ ve $(FDH)$ çemberleri birbirlerine teğettir.