Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: alpercay - Nisan 24, 2024, 02:20:44 ös
-
$a,b,c$ pozitif reel sayılar , $$5.a+6.b+7.c=1$$ olmak üzere $$\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}$$ ifadesinin en küçük tam sayı değeri kaçtır?
-
$$LHS=\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}=\dfrac{10}{5a}+\dfrac{18}{6b}+\dfrac{28}{7c}\overbrace{\geq}^{Bergström} \dfrac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{18}+\sqrt{28}\right)^2}{5a+6b+7c}=\left(\sqrt{10}+\sqrt{18}+\sqrt{28}\right)^2$$
olarak minimum değer tayin edilebilir.
-
$<,>$ iç çarpımı göstermek üzere , Titu lemma ya da Bergström eşitsizliğini kullanmadan $$<X,Y>\le |X|\cdot |Y|$$ skaler çarpım eşitsizliği ile de çözülebiliyor. Burada vektörleri $X=(\sqrt{2/a},\sqrt{3/b},\sqrt{4/c})$ ve $Y=(\sqrt{5a},\sqrt{6b},\sqrt{7c})$ almak gerekiyor.
$$((\sqrt{2/a},\sqrt{3/b},\sqrt{4/c})\cdot (\sqrt{5a},\sqrt{6b},\sqrt{7c}))^2\le (\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c})\cdot(5a+6b+7c)$$ $$(\sqrt{18}+\sqrt{28}+\sqrt{10}]^2\le \dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}$$ $$161,093\le \dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}$$ $$(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c})_{min}=162$$ bulunur.
-
Evet hocam haklısınız. Benim yazdığım çözümde de Bergström Eşitsizliği Cauchy Eşitsizliği'ne, Cauchy Eşitsizliği de skaler çarpım eşitsizliğine dayanmaktadır.
-
LHS ne demek arkadaşlar
-
LHS ne demek arkadaşlar
Left-hand side demek. Yani eşitliğin, eşitsizliğin veya denkliğin sol tarafındaki ifade demek. RHS ise tam tersi right-hand side demek.
-
AO-GO kullanılarak yapılan bir çözüm: $$(5a+6b+7c)\cdot \left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=56+\left(\dfrac{15a}{b}+\dfrac{12b}{a}\right)+\left(\dfrac{20a}{c}+\dfrac{14c}{a}\right)+\left(\dfrac{24b}{c}+\dfrac{21c}{b}\right)$$ $$\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}\ge 56+12\sqrt 5+4\sqrt 70+12\sqrt 14\cong161,19$$ $$\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}\right)_{\text{min}}=162$$