Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Balkan Matematik Olimpiyatı => 2007 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Nisan 11, 2024, 03:59:52 öö

Başlık: Balkan Matematik Olimpiyatı 2007 Soru 2
Gönderen: matematikolimpiyati - Nisan 11, 2024, 03:59:52 öö

Her $x,y \in \mathbb R$ için
$$f(f(x)+y)=f(f(x)-y)+4f(x)y$$
şartını sağlayan tüm $f : \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Bulgaristan)

Başlık: Ynt: Balkan Matematik Olimpiyatı 2007 Soru 2
Gönderen: ygzgndgn - Nisan 11, 2024, 01:32:47 ös

[Çözüm 1]

$\boxed{f\equiv 0}$ bir çözümdür. Bunun haricindeki çözümleri arayacağız. $f(x)=x^2+g(x)$ diyelim. Yerine yazarsak
$$g(f(x)+y)+(f(x)+y)^2=g(f(x)-y)+(f(x)-y)^2+4f(x)y\Rightarrow g(f(x)+y)=g(f(x)-y)$$ elde edilir. $x=x_0$ sabitlenirse $y$ tüm gerçel değerleri alır. Bu sebeple $g$ sabit olmalıdır. Buradan $c\in\mathbb{R}$ için $\boxed{f(x)=x^2+c}$ gelir.