Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Ocak 22, 2024, 10:19:57 ös
-
$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=6$ ise
$$\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{b^2+3c^2}+\sqrt{c^2+3a^2}\geq 6$$
olduğunu gösteriniz.
-
Her iki tarafın karesi alındığında Cauchy-Schwarz ile
$$LHS^2=4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\sum_{cyc}{\sqrt{\left(b^2+b^2+b^2+a^2\right)\left(b^2+c^2+c^2+c^2\right)}}$$
$$\overbrace{\geq}^{Cauchy} 4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\sum_{cyc}{\left(b^2+2bc+ac\right)}=6\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)=36$$
olarak elde edilir ve ispat biter. Cauchy-Schwarz kısmında
$$\sum_{cyc}{\sqrt{\left(3b^2+a^2\right)\left(3c^2+b^2\right)}}\geq \sum_{cyc}{\left(3bc+ab\right)}$$
şeklinde bir işlem uygulanmış olsaydı eşitsizlik zayıf kalacaktır, zira eşitsizliğin sonucu $ab+bc+ca\geq 3$ ifadesine çıkar, ki bu ifade yanlıştır. Bu da uygulanan Cauchy-Schwarz'ın zayıf olduğunu gösterir.
-
Benzer bir problem ise Crux Mathematicorum dan eski bir problem..
Problem (Crux 2032)
Herhangi $x,y$ ve $z$ negatif olmayan reel sayıları için
$$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\geq \sqrt{6(x+y+z)}$$
-
Her iki tarafın karesini alalım:
$$x^2+y^2+z^2+3+2\sum_{cyc}{\sqrt{(x^2+1)(1+y^2)}}\geq 6(x+y+z)$$
Fakat Cauchy-Schwarz Eşitsizliğinden $$2\sum_{cyc}{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}}\geq 4(x+y+z)$$
olduğundan dolayı $x^2+y^2+z^2+3\geq 2(x+y+z)$ ye dönüşür. Bu ise Aritmetik-Geometrik Ortalama eşitsizliğinden doğrudur. Eşitlik durumu $x=y=z=1$ iken sağlanır.