Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Kamp Sınavları => 2008 - Lise Kış => Konuyu başlatan: geo - Ocak 10, 2024, 11:36:52 ös
-
$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots$ aritmetik dizisinin tüm terimlerini bölen en büyük sayı $1$ dir. $S_{n}=a_{1}+a_{2}+$ $\ldots+a_{n}$ toplamının her $n \geq 1$ tam sayısı için tam kare olmasını sağlayan tüm dizileri bulun.
-
Dizinin ortak farkı $d$ olsun. Öncelikle $a_1$ tamkare olduğundan $a_1\geq 0$'dır. Ayrıca $d\geq 0$ olmalıdır aksi takdirde dizinin terimleri bir yerden sonra negatif olmaya başlar ve $S_n<0$ olur. Dolayısıyla dizideki her terim $0$ veya pozitiftir. Her terimi $a_n=a_1+d(n-1)$ olarak yazabiliriz. Dizinin tüm terimlerini bölen en büyük sayının $1$ olması için $(a_1,d)=1$ olmalıdır. $$S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{n}(a_1+d(k-1))=a_1n+\frac{d(n-1)n}{2}$$ her zaman tamkare olmalıdır. $$n(2a_1+d(n-1))=2t_n^2$$ olacak şekilde $n$'ye bağlı bir $t_n$ negatif olmayan tamsayısı vardır. $n$'yi yeterince büyük bir asal sayı seçersek, $$n\mid 2t_n^2\implies n\mid t_n\implies n^2\mid 2t_n^2$$ $$\implies n\mid 2a_1+d(n-1)\implies n\mid 2a_1-d$$ olmalıdır. $n$'yi istediğimiz kadar büyük seçebileceğimizden dolayı $2a_1=d$ olmalıdır. Ayrıca $(a_1,d)=1$ olduğundan $a_1=1$ ve $d=2$'dir. Yani dizinin terimleri $$1,3,5,7,\dots$$ şeklinde tek pozitif tamsayılardan oluşmalıdır. Başka bir deyişle $\boxed{a_n=2n-1}$ olmalıdır. Bu durumda $S_n=n^2$ çıktığından istenilen sağlanır.