Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Aralık 16, 2023, 08:37:55 ös
-
Genelleştirme 1
$a_1,a_2,a_3$ pozitif reeller ($n\geq 3$) olmak üzere $\prod{a_1}=\dfrac{n-1}{n}$ ise
$$\sum_{cyc-j}{\dfrac{a_ja_{j+1}a_{j+2}\cdots a_{j-2}}{a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots+a_{j-2}}}\geq \dfrac{\sum_{cyc}{a_1}}{\sum_{cyc}{a_1^3}}$$
olduğunu gösteriniz.
-
Genelleştirmede Lokman hocamızın foruma önceden yüklemiş olduğu Toplamın Karesi ile İlişik Eşitsizlik (https://geomania.org/forum/index.php?topic=8811.msg24103#msg24103)'ten yararlandığımı ipucu vermek amaçlı söyleyebilirim.
$$n=3$$
verildiğinde problem Balkan MO Shortlist 2018 #A.1 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=8859.msg24224;topicseen#new)'e dönüşür.
-
Basit bir şekilde $\prod{a_1}$ parantezine alalım
$$LHS=\sum_{cyc-j}{\dfrac{a_ja_{j+1}a_{j+2}\cdots a_{j-2}}{a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots+a_{j-2}}}=\prod{a_1}\left(\sum_{cyc-j}{\dfrac{1}{a_{j-1}\left(a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots+a_{j-2}\right)}}\right)$$
$$=\dfrac{n-1}{n}\left(\sum_{cyc-j}{\dfrac{1}{a_{j-1}\left(a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots+a_{j-2}\right)}}\right)$$
Şimdi Titu Eşitsizliği'ni uygulayacağız
$$LHS=\dfrac{n-1}{n}\left(\sum_{cyc-j}{\dfrac{1}{a_{j-1}\left(a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots+a_{j-2}\right)}}\right)\geq \dfrac{n-1}{n}\left(\dfrac{n^2}{\sum\limits_{cyc-j}{a_{j-1}\left(a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots+a_{j-2}\right)}}\right)$$
$$=\dfrac{n\left(n-1\right)}{2\sum\limits_{1\leq i<j\leq n}{a_ia_j}}\geq \dfrac{\sum\limits_{cyc}{a_1}}{\sum\limits_{cyc}{a_1^3}}$$
Son eşitsizliği göstermemiz problemin ispatında yeterli olacaktır. Gösterelim
$$\sum_{cyc}{a_1^3}\geq \dfrac{\left(a_1+a_2+\cdots +a_n\right)^3}{n^2}\geq \dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}{a_1}\right)2\sum\limits_{1\leq i<j\leq n}{a_ia_j}}{n(n-1)}\Rightarrow \left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)^2\geq \dfrac{2n}{n-1}\sum_{1\leq i<j\leq n}{a_ia_j}$$
eşitsizliği meydana çıkar. Bu eşitsizlik Maclaurin Eşitsizliği'nin bir sonucu olarak ve Lokman hocamın da foruma girmiş olduğu Toplamın Karesi İle İlgili Temel Eşitsizlik (https://geomania.org/forum/index.php?topic=8811.msg24101#msg24101) sonucunsan doğrudur. İspat tamamlanır.