Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Kasım 26, 2023, 05:21:47 ös
-
Genelleştirme 1
$a+b+c=1$ eşitliğini sağlayan tüm negatif olmayan $a,b,c$ sayıları için aşağıdaki eşitsizliği sağlayan
$$\dfrac{a}{\lambda-1+9bc+k\left(b-c\right)^2}+\dfrac{b}{\lambda-1+9ca+k\left(c-a\right)^2}+\dfrac{c}{\lambda-1+9ab+k\left(a-b\right)^2}\geq \dfrac{1}{\lambda}$$
$k$ sayısının maksimum değerini bulunuz.
-
$$\lambda=2$$
verildiğinde problem Japonya MO Final 2014 #5 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=8821.msg24133;topicseen#new)'e dönüşür.
-
Öncelikle $a=b=\dfrac{1}{2} , c=0$ verildiğinde basit hesaplamalar sonucu $k\leq 4$ olduğunu elde ederiz. O zaman biz en büyük değerin $k=4$ olduğunu gösterelim. Bergstorm Eşitsizliği'ni kullanırsak
$$LHS=\sum_{cyc}{\dfrac{a}{\lambda-1+9bc+4\left(b-c\right)^2}}=\sum_{cyc}{\dfrac{a^2}{\left(\lambda-1\right)a+9abc+4a\left(b-c\right)^2}}\overbrace{\leq}^{Bergstorm} \dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(\lambda-1\right)\left(a+b+c\right)+4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc}$$
$$=\dfrac{1}{\lambda-1+4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc}\geq \dfrac{1}{\lambda}$$
sondaki eşitsizliği göstermemiz problemin ispatında yeterli olacaktır. Gösterelim.
$$=\dfrac{1}{\lambda-1+4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc}\geq \dfrac{1}{\lambda}\Rightarrow \lambda\geq \lambda-1+4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc$$
$$\Rightarrow 1\leq 4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc$$
$a+b+c=1$ bilgisini kullanırsak
$$1=\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\sum_{sym}{ab^2}+6abc\geq 4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc \Rightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq 4\sum_{sym}{ab^2}$$
Son ifade ise Schur Eşitsizliği (https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Schur%27s_Inequality)'nin 1. derece hali olduğundan doğrudur. İspat tamamlanır.