Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Ekim 30, 2023, 05:02:52 ös
-
Genelleştirme 1
$ a, b, c$ pozitif reeller olmak üzere $abc=p$ ise
$$\dfrac{1}{a^{k+4}+b^{k+4}+pc^{k+1}}+\dfrac{1}{b^{k+4}+c^{k+4}+pa^{k+1}}+\dfrac{1}{c^{k+4}+a^{k+4}+pb^{k+1}}\leq \dfrac{1}{p\sqrt[3]{p^{k+1}}} $$
olduğunu gösteriniz.
-
Genelleştirme 2
$ a_{1}, a_{2},\cdots, a_{n},n,k$ pozitif reeller olmak üzere $\prod{a_{1}}=p$ ise
$$\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_{i}^{n+k+1}+a_{i+1}^{n+k+1}+\cdots+a_{i-2}^{n+k+1}+pa_{i-1}^{k+1}}}\leq \dfrac{1}{p\sqrt[n]{p^{k+1}}}$$
olduğunu gösteriniz.
-
Genelleştirme 2'nin ispatını verelim. Muirhead Eşitsizliği'nden bildiğimiz üzere simetrik olan iki toplam için
$$\sum_{i=1}^{n-1}{a_i^{n+k+1}}\geq a_1^{k+3}a_2\cdots a_{n-1}+a_1a_2^{k+3}a_3\cdots a_{n-1}+\cdots +a_1a_2\cdots a_{n-2}a_{n-1}^{k+3}$$
$$=a_1a_2\cdots a_{n-1}\left(a_1^{k+1}+a_2^{k+1}+\cdots+a_{n-1}^{k+1}\right)$$
olduğunu söyleyebiliriz. O zaman
$$LHS.p=\sum_{cyc- i}{\dfrac{p}{a_{i}^{n+k+1}+a_{i+1}^{n+k+1}+\cdots+a_{i-2}^{n+k+1}+pa_{i-1}^{k+1}}}\leq \sum_{cyc- i}{\dfrac{p}{a_ia_{i+1}\cdots a_{i-2}\left(a_i^{k+1}+a_{i+1}^{k+1}+\cdots+a_{i-2}^{k+1}\right)+pa_{i-1}^{k+1}}}$$
$$=\sum_{cyc- i}{\dfrac{p}{a_ia_{i+1}\cdots a_{i-2}\left(a_i^{k+1}+a_{i+1}^{k+1}+\cdots+a_{i-2}^{k+1}\right)+a_{i-1}^{k+1}.\prod{a_1}}}=\sum_{cyc- i}{\dfrac{p}{a_ia_{i+1}\cdots a_{i-2}\left(a_i^{k+1}+a_{i+1}^{k+1}+\cdots+a_{i-1}^{k+1}\right)}}$$
elde eder ve ispatı tamamlarız. $n=3$ verildiğinde problem Genelleştirme 1'e dönüşür.
$$=\sum_{cyc- i}{\dfrac{a_{i-1}}{a_i^{k+1}+a_{i+1}^{k+1}+\cdots+a_{i-1}^{k+1}}}=\dfrac{\sum\limits_{cyc}{a_1}}{\sum\limits_{cyc}{a_1^{k+1}}}$$
Kuvvet Ortalaması veya Titu Eşitsizliği'nden
$$\sum_{cyc}{a_1^{k+1}}\geq \left(\sum_{cyc}{a_1}\right)\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right)^{k+1}\overbrace{\geq}^{AGO}
\left(\sum_{cyc}{a_1}\right)\sqrt[n]{p^{k+1}}\Rightarrow LHS.p\leq \dfrac{\sum\limits_{cyc}{a_1}}{\sum\limits_{cyc}{a_1^{k+1}}}\leq \dfrac{1}{\sqrt[n]{p^{k+1}}}$$