Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ - Eylül 06, 2023, 01:33:27 öö
-
(Hüseyin Emekçi)
$a_{1},a_{2},\cdots,a_{p},k\in \mathbf{R^+}$ ve $\sum_{i=1\to p}{\frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{a_{i}}}=k(a_{1}a_{2}\cdots a_{p})$ olmak üzere
$$\sum_{cyc}{a_{1}^{n+1}a_{2}^{n}}\geq (n+1)(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{p})-kn$$
olduğunu gösteriniz.
-
Soruda verilen bilgi $\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_{1}}}=k$.
İstenen eşitsizlik aslında(k yerine yukarıdaki ifadeyi koyarsak)
$$\sum_{cyc}{a_{1}^{n+1}a_{2}^{n}}+n\left(\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_{1}}}\right)\overbrace{\geq}^{AGO}(n+1)(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{p})$$
Aritmetik-geometrik ortalamada n katsayısını açıyoruz.