Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Kamp Sınavları => 2012 - Ortaokul Yaz => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Ağustos 21, 2023, 04:16:31 ös
-
Bir $ABC$ üçgeninde $\angle{ACB}=90^{\circ}$ olsun. $C$ den inilen yükseklik ayağı $F$ olsun. $\omega$ çemberi $[FB]$ doğru parçasına $P$ de, $CF$ yüksekliğine $Q$ da ve $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $R$ de teğet oluyor ise $A,Q$ ve $R$ noktalarının doğrusal ve $|AP|=|AC|$ olduğunu gösteriniz.
-
$[AB]$ nin orta noktası $M$ ve $\omega$ çemberinin merkezi $N$ olsun. $M$ noktası $ABC$ nin çevrel çemberinin merkezidir. Teğet çemberlerin merkezlerini birleştiren doğru teğet değme noktasından da geçer dolayısıyla $M,N,R$ noktaları doğrusaldır. $QN \perp CF$ ve $MA \perp CF$ olduğundan $QN \parallel MA \implies \angle{AMR} = \angle{QNR}$ elde edilir. Ayrıca $AMR$ ve $QNR$ üçgenleri ikizkenar üçgenler olduğundan $\angle{MRA} = \angle{NRQ}$ olur ki bu da bize $A,Q,R$ noktalarının doğrusal olduğunu gösterir.
$\angle{QFB}=\angle{QRB}=90^{\circ}$ olduğundan $F,Q,R,B$ çemberseldir. $A$ noktasının bu çembere göre kuvvetinden
$$|AQ| \cdot |AR| = |AF| \cdot |AB|$$
$A$ noktasının $\omega$ çemberine göre kuvvetinden
$$|AQ| \cdot |AR| = |AP|^2$$
elde edilir. Öte yandan $ABC$ üçgeninde öklitten
$$|AC|^2=|AF| \cdot |AB|$$
yazılıp bu üç eşitlik birleştirilirse
$|AC|^2=|AF| \cdot |AB| = |AQ| \cdot |AR| = |AP|^2 \implies |AC|=|AP|$ bulunur.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8678.0;attach=16600)