Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Kamp Sınavları => 2002 - Lise Kış => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 06, 2023, 03:26:36 ös

Başlık: 2002 Ulusal Lise Matematik Olimpiyatı Kış Kampı Sınavı Soru 3
Gönderen: Lokman Gökçe - Ağustos 06, 2023, 03:26:36 ös

Sonsuz büyüklükteki bir satranç tahtasından, bu tahtayı oluşturan karelerin kenarları boyunca bir çokgen kesilip dışarı alınıyor. Bu çokgenin bir kenarına bitişik bir kare siyahsa bu kenarın bu kareyle ortak kısmına $ \textit{siyah parça}$; sözü geçen kare beyazsa bu kareyle ortak kısmına $ \textit{beyaz parça}$ deniyor. Böylece çokgenin çevresi, siyah parçaların ve beyaz parçaların birleşimi olarak gösterilmiş oluyor. Siyah parçaların sayısı $S$, beyaz parçaların sayısı $B$; çokgen içinde kalan siyah karelerin sayısı $s$, beyaz karelerin sayısı $b$ ise
$$ S - B = 4(s-b) $$
olduğunu gösteriniz.

Başlık: Ynt: 2002 Ulusal Lise Matematik Olimpiyatı Kış Kampı Sınavı Soru 3
Gönderen: Lokman Gökçe - Ağustos 06, 2023, 04:34:27 ös

Çözüm [Lokman Gökçe]: Önce en temel durum olan bir birim karenin seçilmiş olması durumuna bakalım. Bu karenin siyah olduğunu düşünebiliriz. $S=4$, $B=0$, $s=1$, $b=0$ olduğundan $S - B = 4(s-b)$ bağıntısının sağlandığını görürüz.

(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8636.0;attach=16587;image)

Şimdi birer birer (önceki karelerden biriyle ortak kenara sahip)  yeni komşu kareler seçerek çokgenimizi büyüttüğümüzü düşünelim. Yukarıdaki örnek çokgeni göz önüne alalım. Şekilde $S=21$, $B=17$, $s=13$, $b=12$ olup $S - B = 4(s-b)$ bağıntısı sağlanır.

Örneğin $A$ hücresi gibi, çokgenle yalnız bir ortak kenarı olan bir kareyi daha birleştirirsek $1$ beyaz kare artışı olmuş olur. Bu halde beyaz kenar sayısı $3$ artarken siyah kenar sayısı $1$ azalacaktır. Yeni durumdaki değerler $S_1, B_1, s_1, b_1$ olmak üzere $S_1 = S-1$, $B_1 = B + 3$, $s_1=s$, $b_1 = b + 1$ olup $S_1 - B_1 = 4(s_1 - b_1)$ bağıntısı sağlanır. Benzer durumun, $C$ hücresine bir siyah kare eklendiğinde de geçerli olduğu görülebilir.

Şimdi $B$ hücresi gibi, çokgenle iki ortak (ve aynı renge sahip) bir kareyi birleştirirsek $1$ beyaz kare artışı olmuş olur. Bu halde beyaz kenar sayısı $2$ artarken siyah kenar sayısı $2$ azalacaktır. Yeni durumdaki değerler $S_1, B_1, s_1, b_1$ olmak üzere $S_1 = S-2$, $B_1 = B + 2$, $s_1=s$, $b_1 = b + 1$ olup $S_1 - B_1 = 4(s_1 - b_1)$ bağıntısı sağlanır.

Şimdi $D$ hücresi gibi, çokgenle üç ortak (ve aynı renge sahip) bir kareyi birleştirirsek $1$ beyaz kare artışı olmuş olur. Bu halde beyaz kenar sayısı $1$ artarken siyah kenar sayısı $3$ azalacaktır. Yeni durumdaki değerler $S_1, B_1, s_1, b_1$ olmak üzere $S_1 = S-3$, $B_1 = B + 1$, $s_1=s$, $b_1 = b + 1$ olup $S_1 - B_1 = 4(s_1 - b_1)$ bağıntısı sağlanır.

Böylece, tüm yeni kare ekleme durumlarında $S - B = 4(s-b)$ bağıntısının geçerli olduğunu anlarız.

Öte yandan, problemde sorulmamış olsa da bazı uç durumları irdeleyebiliriz. $E$ hücresine kare ekleyip $D$ nin boş bırakılması veya $F$ hücresine kare ekleyip $D, E$ nin boş bırakılması gibi "delinmiş çokgen" oluşması durumlarında da $S - B = 4(s-b)$ bağıntısı geçerlidir. Yine, çokgenle ortak kenar içermeyen $G$ hücresine kare eklenmesi durumunda da $S - B = 4(s-b)$ bağıntısının sağlanacağı kolayca görülebilir.

Başlık: Ynt: 2002 Ulusal Lise Matematik Olimpiyatı Kış Kampı Sınavı Soru 3
Gönderen: matematikolimpiyati - Eylül 02, 2023, 01:13:38 öö

Çözüm 2: Hem beyaz hem de siyah kareye ait olan kenara "ortak" kenar diyelim. Ortak olmayan kenarlar da çokgenin çevresini oluşturur. Siyah karelerde toplam $4s$ tane kenar vardır ve bunların $S$ tanesi çevrede bulunduğu için $4s-S$ tane ortak kenar mevcuttur. Benzer şekilde beyaz karelerde bulunan toplam $4b$ tane kenarın $B$ tanesi çevrede olduğundan $4b-B$ tane ortak kenar bulunur. Ortak kenar sayılarının eşitliğinden
$$4s-S=4b-B \implies S-B = 4s-4b = 4(s-b)$$
elde ederiz.

Şekilde bazı ortak kenarlar kırmızıya ve bazı çevre kenarları maviye boyanmıştır.

(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8636.0;attach=16602)